1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $\varphi$ est $n$ fois dérivable sur $]0; +\infty[$ et que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $$\varphi^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}.$$ Puis, pour la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \varphi^{(2n)}(\sqrt{3})$, calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$. 2. **Dérivation de $\varphi$ et formule générale :** Supposons que $\varphi(x) = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ (c'est la fonction de base qui correspond à la formule donnée). - La première dérivée est $$\varphi'(x) = -\frac{1}{x^2} = (-1)^1 \frac{1!}{x^{1+1}}.$$ - La deuxième dérivée est $$\varphi''(x) = \frac{2}{x^3} = (-1)^2 \frac{2!}{x^{2+1}}.$$ - La troisième dérivée est $$\varphi^{(3)}(x) = -\frac{6}{x^4} = (-1)^3 \frac{3!}{x^{3+1}}.$$ On remarque que la dérivée $n$-ième de $\varphi$ est $$\varphi^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}.$$ 3. **Preuve par récurrence :** - Initialisation : pour $n=1$, la formule est vraie. - Hypothèse de récurrence : supposons vraie pour $n$. - Montrons pour $n+1$ : $$\varphi^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx} \varphi^{(n)}(x) = \frac{d}{dx} \left((-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}\right) = (-1)^n n! \cdot \left(- (n+1) x^{-(n+2)}\right) = (-1)^{n+1} (n+1)! x^{-(n+2)}.$$ La formule est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 4. **Calcul de la limite de la suite $(u_n)$ :** On a $$u_n = \varphi^{(2n)}(\sqrt{3}) = (-1)^{2n} \frac{(2n)!}{(\sqrt{3})^{2n+1}} = \frac{(2n)!}{(\sqrt{3})^{2n+1}}$$ car $(-1)^{2n} = 1$. On peut écrire $$(\sqrt{3})^{2n+1} = (\sqrt{3})^{2n} \cdot \sqrt{3} = (3)^n \cdot \sqrt{3}.$$ Donc $$u_n = \frac{(2n)!}{3^n \sqrt{3}}.$$ 5. **Étude de la limite :** Le terme $(2n)!$ croît beaucoup plus vite que $3^n$, donc $u_n \to +\infty$ quand $n \to +\infty$. **Conclusion :** - La fonction $\varphi$ est $n$ fois dérivable sur $]0; +\infty[$ et $$\varphi^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}.$$ - La suite $u_n = \varphi^{(2n)}(\sqrt{3})$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini.