1. **Énoncé du problème :** Étudier et représenter la fonction tangente et ses variations, ainsi que résoudre les limites et inégalités données dans l'exercice 2, question 1. 2. **Dérivée de la fonction tangente :** La fonction tangente est définie sur l'intervalle $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. La dérivée de $\tan x$ est donnée par la formule : $$\frac{d}{dx}(\tan x) = 1 + \tan^2 x$$ Ceci vient de la dérivée de $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et de la règle du quotient. 3. **Calcul de la dérivée :** $$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$$ C'est une identité trigonométrique classique. 4. **Conclusion :** La dérivée de la fonction tangente sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ est bien : $$\boxed{\frac{d}{dx}(\tan x) = 1 + \tan^2 x}$$ Cela montre que la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle.