1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3x - 3}{2x + 1}$ pour tout $x \neq -\frac{1}{2}$. Nous devons montrer que sa dérivée est $f'(x) = \frac{9}{(2x + 1)^2}$, puis étudier ses variations, trouver les tangentes de pente 1, et déterminer leurs équations. 2. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** La fonction est un quotient, donc on utilise la formule de dérivation : $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$ avec $u(x) = 3x - 3$ et $v(x) = 2x + 1$. 3. **Calcul des dérivées de $u$ et $v$ :** $$u'(x) = 3$$ $$v'(x) = 2$$ 4. **Application de la formule :** $$f'(x) = \frac{3(2x + 1) - (3x - 3)2}{(2x + 1)^2}$$ 5. **Développement et simplification :** $$f'(x) = \frac{6x + 3 - 6x + 6}{(2x + 1)^2} = \frac{9}{(2x + 1)^2}$$ 6. **Étude des variations de $f$ :** Le dénominateur $(2x + 1)^2$ est toujours positif sauf en $x = -\frac{1}{2}$ où la fonction n'est pas définie. Donc $f'(x) = \frac{9}{(2x + 1)^2} > 0$ pour tout $x \neq -\frac{1}{2}$. Cela signifie que $f$ est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine : $(-\infty, -\frac{1}{2})$ et $(-\frac{1}{2}, +\infty)$. 7. **Recherche des tangentes de pente 1 :** On cherche $x$ tel que $f'(x) = 1$. 8. **Résolution de l'équation :** $$\frac{9}{(2x + 1)^2} = 1 \Rightarrow (2x + 1)^2 = 9$$ $$\Rightarrow 2x + 1 = \pm 3$$ 9. **Solutions :** - Si $2x + 1 = 3$, alors $2x = 2$ donc $x = 1$. - Si $2x + 1 = -3$, alors $2x = -4$ donc $x = -2$. 10. **Calcul des ordonnées des points de tangence :** $$f(1) = \frac{3(1) - 3}{2(1) + 1} = \frac{0}{3} = 0$$ $$f(-2) = \frac{3(-2) - 3}{2(-2) + 1} = \frac{-6 - 3}{-4 + 1} = \frac{-9}{-3} = 3$$ 11. **Équations des tangentes :** La tangente en $x = a$ est donnée par : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ - Pour $x = 1$ : $$y = 1(x - 1) + 0 = x - 1$$ - Pour $x = -2$ : $$y = 1(x + 2) + 3 = x + 5$$ **Réponse finale :** - $f'(x) = \frac{9}{(2x + 1)^2}$ - $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}$ - Les tangentes de pente 1 sont $y = x - 1$ et $y = x + 5$.