1. Énonçons le problème : Trouver la dérivée d'une fonction du troisième degré et dresser son tableau de variation. 2. Choisissons une fonction du troisième degré : $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$$. 3. Rappel : La dérivée d'une fonction polynomiale $$ax^n$$ est $$anx^{n-1}$$. 4. Calculons la dérivée : $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$. 5. Trouvons les points critiques en résolvant $$f'(x) = 0$$ : $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$ Divisons par 3 : $$\cancel{3}x^2 - \cancel{6}x + \cancel{2} = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$$ 6. Calculons le discriminant : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times \frac{2}{3} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} > 0$$ 7. Les racines sont : $$x = \frac{2 \pm \sqrt{\frac{4}{3}}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 8. Étudions le signe de $$f'(x)$$ pour dresser le tableau de variation : - Pour $$x < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$, $$f'(x) > 0$$ (fonction croissante). - Entre les racines, $$f'(x) < 0$$ (fonction décroissante). - Pour $$x > 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$, $$f'(x) > 0$$ (fonction croissante). 9. Calculons les valeurs de $$f(x)$$ aux points critiques : $$f\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 1$$ $$f\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 1$$ 10. Le tableau de variation est : $$\begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} & +\infty \\ f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow \\ \end{array}$$ Ainsi, la fonction est croissante, puis décroissante, puis croissante à nouveau avec un maximum local en $$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$ et un minimum local en $$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$.