1. Énoncé du problème : Trouver la dérivée des fonctions données et préciser leur domaine de définition et de dérivabilité. 2. Rappel des règles importantes : - La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. - La dérivée de $\sqrt{x} = x^{1/2}$ est $\frac{1}{2}x^{-1/2}$. - La dérivée d'un produit $f(x)g(x)$ est $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. - La dérivée d'un quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$. 3. Fonction $n(x) = \sqrt{3}x^2 - \pi x + \frac{1}{3}$ - Domaine : $\mathbb{R}$ (polynôme) - Dérivée : $$n'(x) = 2\sqrt{3}x - \pi$$ 4. Fonction $p(x) = (2x^2 - x + 1)(-7x + 8)$ - Domaine : $\mathbb{R}$ - Dérivée (produit) : $$p'(x) = (4x - 1)(-7x + 8) + (2x^2 - x + 1)(-7)$$ - Développons : $$p'(x) = (-28x^2 + 32x + 7x - 8) + (-14x^2 + 7x - 7)$$ $$p'(x) = (-28x^2 + 39x - 8) + (-14x^2 + 7x - 7)$$ $$p'(x) = -42x^2 + 46x - 15$$ 5. Fonction $r(x) = 3x - \frac{7}{x}$ - Domaine : $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ - Dérivée : $$r'(x) = 3 - (-7)x^{-2} = 3 + \frac{7}{x^2}$$ 6. Fonction $t(x) = x^2 + 3x - \frac{7}{x} + 5$ - Domaine : $\mathbb{R}^*$ - Dérivée : $$t'(x) = 2x + 3 - (-7)x^{-2} = 2x + 3 + \frac{7}{x^2}$$ 7. Fonction $s(x) = x + \frac{5}{2x} - \sqrt{x}$ - Domaine : $\mathbb{R}^*_+ = (0, +\infty)$ (car $\sqrt{x}$ et division par $x$) - Dérivée : $$s'(x) = 1 - \frac{5}{2}x^{-2} - \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 - \frac{5}{2x^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ 8. Fonction $w(x) = \frac{5\sqrt{x}}{7} - 3x$ - Domaine : $\mathbb{R}_+ = [0, +\infty)$ - Dérivée : $$w'(x) = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} - 3 = \frac{5}{14\sqrt{x}} - 3$$ Chaque fonction est dérivable sur son domaine de définition précisé.