1. Énoncé du problème : Trouver le développement limité de la fonction $$f(x) = \frac{x}{2} - 1 \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ au voisinage de 0 à l'ordre 3. 2. Rappel : Le développement limité (ou série de Taylor) d'une fonction $f$ autour de 0 à l'ordre 3 s'écrit : $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{6}x^3 + o(x^3)$$ 3. Calcul de $f(0)$ : $$f(0) = \frac{0}{2} - 1 \ln\left(\frac{1+0}{1-0}\right) = 0 - \ln(1) = 0$$ 4. Calcul de la dérivée première $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{d}{dx} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ La dérivée de $\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ est : $$\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ Calculons $\frac{d}{dx} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ : $$\frac{d}{dx} \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{(1-x) \cdot 1 - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1 - x + 1 + x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$$ Donc : $$\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1+x)(1-x)} = \frac{2}{1 - x^2}$$ Ainsi : $$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{1 - x^2}$$ 5. Calcul de $f'(0)$ : $$f'(0) = \frac{1}{2} - \frac{2}{1 - 0} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$$ 6. Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ : $$f''(x) = -2 \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1 - x^2}\right) = -2 \cdot \frac{2x}{(1 - x^2)^2} = -\frac{4x}{(1 - x^2)^2}$$ 7. Calcul de $f''(0)$ : $$f''(0) = -\frac{4 \cdot 0}{(1 - 0)^2} = 0$$ 8. Calcul de la dérivée troisième $f^{(3)}(x)$ : $$f^{(3)}(x) = -4 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1 - x^2)^2} \right)$$ Utilisons la règle du produit : $$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1 - x^2)^2} \right) = \frac{(1 - x^2)^2 \cdot 1 - x \cdot 2 (1 - x^2)(-2x)}{(1 - x^2)^4}$$ Simplifions le numérateur : $$ (1 - x^2)^2 + 4x^2 (1 - x^2) = (1 - x^2)(1 - x^2 + 4x^2) = (1 - x^2)(1 + 3x^2)$$ Donc : $$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1 - x^2)^2} \right) = \frac{(1 - x^2)(1 + 3x^2)}{(1 - x^2)^4} = \frac{1 + 3x^2}{(1 - x^2)^3}$$ 9. Donc : $$f^{(3)}(x) = -4 \cdot \frac{1 + 3x^2}{(1 - x^2)^3}$$ 10. Calcul de $f^{(3)}(0)$ : $$f^{(3)}(0) = -4 \cdot \frac{1 + 0}{1^3} = -4$$ 11. Assemblage du développement limité : $$f(x) = 0 - \frac{3}{2} x + \frac{0}{2} x^2 + \frac{-4}{6} x^3 + o(x^3) = -\frac{3}{2} x - \frac{2}{3} x^3 + o(x^3)$$ Réponse finale : $$\boxed{f(x) \approx -\frac{3}{2} x - \frac{2}{3} x^3}$$