1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité de la fonction $$f(x) = \ln(1 + e^x) + \sqrt{1 + \sin x}$$ au voisinage de 0 à l'ordre 3, puis déterminer l'équation de la tangente en 0 et la position de la courbe par rapport à cette tangente. 2. **Développement limité de chaque terme :** - Pour $\ln(1 + e^x)$ : - On sait que $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. - Donc $1 + e^x = 2 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. - Posons $g(x) = 1 + e^x$, alors $\ln(g(x)) = \ln 2 + \ln\left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12} + o(x^3)\right)$. - Utilisons le développement de $\ln(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + o(y^3)$ avec $y = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12}$. - Calculons : $$y = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12}$$ $$y^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \text{termes d'ordre supérieur} = \frac{x^2}{4} + o(x^2)$$ $$y^3 = \left(\frac{x}{2}\right)^3 + o(x^3) = \frac{x^3}{8} + o(x^3)$$ - Donc $$\ln(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + o(x^3) = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{8} + o(x^3)$$ $$= \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{24} + o(x^3) = \frac{x}{2} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) x^2 + \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{24}\right) x^3 + o(x^3)$$ $$= \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{8} + o(x^3)$$ - Finalement, $$\ln(1 + e^x) = \ln 2 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{8} + o(x^3)$$ - Pour $\sqrt{1 + \sin x}$ : - $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ - Donc $1 + \sin x = 1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ - Utilisons le développement de $\sqrt{1 + z} = 1 + \frac{z}{2} - \frac{z^2}{8} + o(z^2)$ avec $z = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ - Calculons $z^2 = x^2 + o(x^2)$ donc $$\sqrt{1 + \sin x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)$$ - Comme on cherche jusqu'à l'ordre 3, on peut écrire $$\sqrt{1 + \sin x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^3)$$ 3. **Somme des développements :** $$f(x) = \ln(1 + e^x) + \sqrt{1 + \sin x} = \left(\ln 2 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{8}\right) + \left(1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}\right) + o(x^3)$$ Simplifions : $$f(x) = 1 + \ln 2 + x + \frac{x^3}{8} + o(x^3)$$ 4. **Comparer avec l'expression donnée :** L'énoncé donne $$f(x) = 1 + \ln 2 + x - \frac{1}{48} x^3 + o(x^3)$$ Il faut vérifier le terme en $x^3$. Reprenons le calcul du terme en $x^3$ pour $\sqrt{1 + \sin x}$ plus précisément : - $z = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ - $z^2 = x^2 + o(x^3)$ - $z^3$ est d'ordre $x^3$ mais négligeable dans le développement de $\sqrt{1+z}$ à l'ordre 3 Le développement de $\sqrt{1+z}$ à l'ordre 3 est : $$\sqrt{1+z} = 1 + \frac{z}{2} - \frac{z^2}{8} + \frac{z^3}{16} + o(x^3)$$ Calculons le terme en $x^3$ : - $\frac{z}{2} = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{12}$ - $-\frac{z^2}{8} = -\frac{x^2}{8} + o(x^3)$ - $\frac{z^3}{16} = \frac{x^3}{16} + o(x^3)$ Donc $$\sqrt{1 + \sin x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{12} + \frac{x^3}{16} + o(x^3) = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48} + o(x^3)$$ 5. **Somme finale corrigée :** $$f(x) = \ln 2 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{8} + 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48} + o(x^3)$$ Simplifions : - $x$ : $\frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x$ - $x^2$ : $\frac{x^2}{8} - \frac{x^2}{8} = 0$ - $x^3$ : $\frac{x^3}{8} - \frac{x^3}{48} = \frac{6x^3 - x^3}{48} = \frac{5x^3}{48}$ Mais l'énoncé donne $-\frac{1}{48} x^3$, donc il faut vérifier le signe du terme en $x^3$ dans $\ln(1 + e^x)$. Recalculons le terme en $x^3$ de $\ln(1 + e^x)$ précisément : - $g(x) = 2 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$ - $y = \frac{g(x) - 2}{2} = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12}$ Développement de $\ln(1 + y)$ : $$y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12} - \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2} + \frac{x^2}{4}\right)^2 + \frac{1}{3} \left(\frac{x}{2}\right)^3 + o(x^3)$$ Calculons $y^2$ à l'ordre 3 : $$y^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{x^2}{4} + o(x^3) = \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{4} + o(x^3)$$ Donc $$-\frac{y^2}{2} = -\frac{1}{2} \left(\frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{4}\right) = -\frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{8}$$ Calculons $y^3$ à l'ordre 3 : $$y^3 = \left(\frac{x}{2}\right)^3 + o(x^3) = \frac{x^3}{8}$$ Donc $$\frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{24}$$ Somme : $$\frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{8} + \frac{x^3}{24} = \frac{x}{2} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) x^2 + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{24}\right) x^3$$ Simplifions : - $x^2$ : $\frac{1}{8} x^2$ - $x^3$ : $\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} - \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = 0$ Donc $$\ln(1 + e^x) = \ln 2 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + o(x^3)$$ 6. **Somme finale corrigée :** $$f(x) = \left(\ln 2 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8}\right) + \left(1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48}\right) + o(x^3) = 1 + \ln 2 + x - \frac{x^3}{48} + o(x^3)$$ Ce qui correspond exactement à l'expression donnée. 7. **Équation de la tangente en $x=0$ :** - $f(0) = 1 + \ln 2$ - $f'(x) = $ coefficient de $x$ dans le développement limité = 1 - Donc l'équation de la tangente $T$ en $A(0, f(0))$ est $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + \ln 2 + x$$ 8. **Position de la courbe par rapport à la tangente :** - La différence $f(x) - T(x) = - \frac{x^3}{48} + o(x^3)$ - Pour $x$ proche de 0, le signe de $-\frac{x^3}{48}$ dépend de $x^3$ : - Si $x > 0$, $x^3 > 0$ donc $f(x) < T(x)$ - Si $x < 0$, $x^3 < 0$ donc $f(x) > T(x)$ La courbe est donc au-dessus de la tangente à gauche de 0 et en dessous à droite. 9. **Limite de la suite $U_n = f\left(\frac{\arctan n}{n}\right)$ :** - Pour $n \to +\infty$, $\arctan n \to \frac{\pi}{2}$ - Donc $\frac{\arctan n}{n} \to 0$ - Utilisons le développement limité de $f$ en 0 : $$f(x) = 1 + \ln 2 + x - \frac{x^3}{48} + o(x^3)$$ - Donc $$U_n = 1 + \ln 2 + \frac{\arctan n}{n} - \frac{1}{48} \left(\frac{\arctan n}{n}\right)^3 + o\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ - Calculons $$n^3 \left(U_n - 1 - \ln 2 - \frac{\arctan n}{n}\right) = n^3 \left(- \frac{1}{48} \left(\frac{\arctan n}{n}\right)^3 + o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) = - \frac{1}{48} (\arctan n)^3 + o(1)$$ - Comme $\arctan n \to \frac{\pi}{2}$, $$\lim_{n \to +\infty} n^3 \left(U_n - 1 - \ln 2 - \frac{\arctan n}{n}\right) = - \frac{1}{48} \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 = - \frac{\pi^3}{384}$$