1. **Énoncé du problème :** Soient $x(t) = 1 + t$, $y(t) = \cos(2t)$, $z(t) = e^{2t}$ trois fonctions dérivables en tout $t \in \mathbb{R}$ et $f(x,y,z) = x^2 + 3xy + z$. Exprimer la différentielle totale $df(x,y,z)$ en fonction de $t$. 2. **Formule utilisée :** La différentielle totale de $f$ est donnée par $$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz$$ avec $dx = x'(t) dt$, $dy = y'(t) dt$, $dz = z'(t) dt$. 3. **Calcul des dérivées partielles :** $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} = 1$$ 4. **Calcul des dérivées des fonctions paramétriques :** $$x'(t) = 1$$ $$y'(t) = -2 \sin(2t)$$ $$z'(t) = 2 e^{2t}$$ 5. **Substitution dans la formule de $df$ :** $$df = (2x + 3y) x'(t) dt + 3x y'(t) dt + 1 \cdot z'(t) dt$$ $$= (2(1+t) + 3 \cos(2t)) \cdot 1 \cdot dt + 3(1+t)(-2 \sin(2t)) dt + 2 e^{2t} dt$$ 6. **Simplification :** $$df = \left(2 + 2t + 3 \cos(2t) - 6(1+t) \sin(2t) + 2 e^{2t}\right) dt$$ --- 7. **Deuxième question :** Trouver la fonction $F(x,y)$ telle que $$dF = 2 e^{2x} dx - \frac{1}{y^2} dy$$ 8. **Vérification de l'existence de $F$ :** On pose $$M(x,y) = 2 e^{2x}, \quad N(x,y) = -\frac{1}{y^2}$$ On vérifie que $\frac{\partial M}{\partial y} = 0$ et $\frac{\partial N}{\partial x} = 0$, donc $dF$ est exact. 9. **Intégration partielle :** $$F(x,y) = \int M(x,y) dx + g(y) = \int 2 e^{2x} dx + g(y) = e^{2x} + g(y)$$ 10. **Différentiation par rapport à $y$ :** $$\frac{\partial F}{\partial y} = g'(y) = N(x,y) = -\frac{1}{y^2}$$ 11. **Intégration de $g'(y)$ :** $$g(y) = \int -\frac{1}{y^2} dy = \frac{1}{y} + C$$ 12. **Fonction $F(x,y)$ finale :** $$F(x,y) = e^{2x} + \frac{1}{y} + C$$ --- **Réponses finales :** 1) $$df = \left(2 + 2t + 3 \cos(2t) - 6(1+t) \sin(2t) + 2 e^{2t}\right) dt$$ 2) $$F(x,y) = e^{2x} + \frac{1}{y} + C$$