1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'application $$f : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \mapsto t_M M$$ est différentiable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ muni de la norme $\|M\| = \sup_{1 \leq i,j \leq n} |m_{ij}|$ et calculer sa différentielle. Déterminer si $f$ est de classe $C^1$. 2. **Rappel et formule :** L'application $f$ est définie par $f(M) = t_M M$ où $t_M$ est un scalaire dépendant de $M$. Pour montrer la différentiabilité de $f$ en un point $M_0$, on doit trouver une application linéaire $L$ telle que $$\lim_{H \to 0} \frac{\|f(M_0 + H) - f(M_0) - L(H)\|}{\|H\|} = 0.$$ 3. **Analyse de $f$ :** On suppose que $t_M$ est une fonction réelle différentiable de $M$. Par linéarité de la multiplication par $M$, on peut écrire $$f(M_0 + H) = t_{M_0 + H} (M_0 + H) = t_{M_0} M_0 + t_{M_0} H + (t_{M_0 + H} - t_{M_0}) M_0 + (t_{M_0 + H} - t_{M_0}) H.$$ 4. **Différentielle candidate :** La différentielle $df_{M_0}$ en $M_0$ est donc $$df_{M_0}(H) = t_{M_0} H + (dt_{M_0}(H)) M_0,$$ où $dt_{M_0}$ est la différentielle de la fonction scalaire $t_M$ en $M_0$. 5. **Justification de la différentiabilité :** Le terme $(t_{M_0 + H} - t_{M_0} - dt_{M_0}(H)) M_0$ est négligeable devant $\|H\|$ car $t_M$ est différentiable. Le terme $(t_{M_0 + H} - t_{M_0}) H$ est de l'ordre $\|H\|^2$ car $t_M$ est continue. Donc $$\frac{\|f(M_0 + H) - f(M_0) - df_{M_0}(H)\|}{\|H\|} \to 0$$ quand $H \to 0$, ce qui prouve la différentiabilité. 6. **Classe $C^1$ :** Si $t_M$ est de classe $C^1$ (c'est-à-dire que sa différentielle $dt_M$ est continue en $M$), alors $f$ est aussi de classe $C^1$ car la formule de $df_M$ dépend continûment de $M$. **Réponse finale :** $$\boxed{df_{M_0}(H) = t_{M_0} H + (dt_{M_0}(H)) M_0}$$ L'application $f$ est différentiable sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et est de classe $C^1$ si $t_M$ est de classe $C^1$.