1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité (d.l.) à l'ordre 2 en 0 de la fonction $$f(x) = (1 + \sin x) \cdot \frac{1}{x}$$ puis calculer $$\lim_{x \to 0} f(x)$$. 2. **Formule et règles importantes :** - Le développement limité de $$\sin x$$ en 0 est $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$. - Pour un produit, on multiplie les développements limités. - Attention à la division par $$x$$, on doit simplifier correctement. 3. **Calcul du développement limité :** - On écrit $$f(x) = \frac{1 + \sin x}{x} = \frac{1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x}$$. 4. **Simplification :** $$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} - \frac{x^3}{6x} + \frac{o(x^3)}{x} = \frac{1}{x} + 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$$. 5. **Développement limité à l'ordre 2 :** $$f(x) = \frac{1}{x} + 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$$. 6. **Calcul de la limite :** - La limite $$\lim_{x \to 0} f(x)$$ n'existe pas car $$\frac{1}{x}$$ diverge vers $$+\infty$$ ou $$-\infty$$ selon le sens. --- 7. **Deuxième problème :** Trouver $$a$$ et $$b$$ tels que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x + e^{-x}}{\ln(1+x)} - \frac{a}{x} - b \right) = 0$$. 8. **Développement limité des fonctions :** - $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ - $$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ - $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ 9. **Somme au numérateur :** $$e^x + e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}) + o(x^3) = 2 + x^2 + o(x^3)$$ 10. **Fraction :** $$\frac{e^x + e^{-x}}{\ln(1+x)} = \frac{2 + x^2 + o(x^3)}{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)}$$ 11. **Factorisation du dénominateur :** $$= \frac{2 + x^2 + o(x^3)}{x \left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)\right)} = \frac{2 + x^2 + o(x^3)}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)}$$ 12. **Développement de l'inverse :** $$\frac{1}{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{7x^2}{12} + o(x^2)$$ 13. **Produit :** $$\frac{e^x + e^{-x}}{\ln(1+x)} = \frac{2 + x^2 + o(x^3)}{x} \left(1 + \frac{x}{2} - \frac{7x^2}{12} + o(x^2)\right)$$ 14. **Développons le produit :** $$= \frac{2}{x} \left(1 + \frac{x}{2} - \frac{7x^2}{12}\right) + \frac{x^2}{x} \left(1 + \frac{x}{2}\right) + o(1)$$ 15. **Simplification :** $$= \frac{2}{x} + 1 - \frac{7x}{6} + x^2 + o(1)$$ 16. **Forme finale :** $$\frac{e^x + e^{-x}}{\ln(1+x)} = \frac{2}{x} + 1 - \frac{7x}{6} + x^2 + o(1)$$ 17. **On veut que :** $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x + e^{-x}}{\ln(1+x)} - \frac{a}{x} - b \right) = 0$$ 18. **Comparaison terme à terme :** - Coefficient de $$\frac{1}{x}$$ : $$2 = a$$ - Terme constant : $$1 = b$$ 19. **Réponse :** $$a = 2, \quad b = 1$$