1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + 1 - 4\sqrt{x - 2}$. 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La racine carrée impose $x - 2 \geq 0$, donc $x \geq 2$. Ainsi, $D_f = [2; +\infty[$. 3. **Réécriture de $f(x)$ :** On veut montrer que pour tout $x \in D_f$, $$f(x) = x \left(2 + \frac{1}{x} - 4 \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}\right).$$ Calculons : $$\sqrt{x - 2} = \sqrt{x \left(1 - \frac{2}{x}\right)} = \sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{2}{x}}.$$ Mais on veut exprimer en fonction de $\frac{1}{x}$ : $$\sqrt{x - 2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}} \sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}} \sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{x}}.$$ Donc, $$f(x) = 2x + 1 - 4 \sqrt{x - 2} = 2x + 1 - 4 \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}} \sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{x}}.$$ En multipliant et divisant par $x$ : $$f(x) = x \left(2 + \frac{1}{x} - 4 \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}\right).$$ 4. **Conclusion :** Le domaine est $[2; +\infty[$ et la formule est vérifiée. **Réponse finale :** $$D_f = [2; +\infty[ \quad \text{et} \quad f(x) = x \left(2 + \frac{1}{x} - 4 \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}\right).$$