1. **Énoncé du problème :** Trouver les domaines de définition des fonctions $f$ et $g$ définies par $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x} \quad \text{et} \quad g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^x}.$$ 2. **Formule et règles importantes :** Ces séries sont des séries de Dirichlet. La série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}$ converge si et seulement si $x > 1$ (série de Riemann). La série alternée $g(x)$ converge pour $x > 0$ par critère de Leibniz car $\frac{1}{n^x}$ est décroissante et tend vers 0. 3. **Domaine de définition de $f$ :** - La série $f(x)$ converge si $x > 1$. - Donc, $\boxed{\text{Domaine de } f = ]1, +\infty[}$. 4. **Domaine de définition de $g$ :** - La série $g(x)$ est une série alternée avec terme général $\frac{1}{n^x}$. - Par le critère de Leibniz, $g(x)$ converge pour $x > 0$. - Donc, $\boxed{\text{Domaine de } g = ]0, +\infty[}$. **Réponse finale :** $$\text{Domaine de } f = ]1, +\infty[ \quad \text{et} \quad \text{Domaine de } g = ]0, +\infty[.$$