1. Énonçons le problème : Trouver l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \frac{-2x}{1+x^2}$. 2. Pour déterminer l'ensemble de définition, il faut identifier les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie. 3. La fonction est une fraction rationnelle, donc elle est définie tant que le dénominateur n'est pas nul. 4. Le dénominateur est $1 + x^2$. 5. Résolvons $1 + x^2 = 0$ pour trouver les valeurs interdites : $$x^2 = -1$$ 6. Comme $x^2$ est toujours positif ou nul pour tout $x$ réel, $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle. 7. Donc, le dénominateur ne s'annule jamais pour $x \in \mathbb{R}$. 8. Conclusion : La fonction $f(x)$ est définie pour tout nombre réel $x$. 9. L'ensemble de définition est donc $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $]-\infty, +\infty[$.