1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'ensemble de définition $D_1$ de la fonction $f$ définie par $$f(x) = x(\ln x)^2 + x, \quad x > 0$$ et $f(0) = 0$. 2. **Formule et règles importantes :** - La fonction logarithme naturel $\ln x$ est définie uniquement pour $x > 0$. - La fonction $f$ est définie pour tous les $x$ où l'expression est mathématiquement valide. 3. **Travail intermédiaire :** - Puisque $\ln x$ est défini seulement pour $x > 0$, la fonction $f(x) = x(\ln x)^2 + x$ est définie uniquement pour $x > 0$. - La valeur $f(0) = 0$ est donnée explicitement, donc on peut étendre la définition de $f$ en posant $f(0) = 0$. 4. **Conclusion :** - L'ensemble de définition $D_1$ de $f$ est donc $$D_1 = [0, +\infty[.$$