1. Énoncé du problème : Déterminer les ensembles de définition de $f$ et $g$ où $f(x) = x^2 - 1$ et $g(x) = \frac{x+1}{x-3}$. 2. Ensemble de définition de $f$ : La fonction $f(x) = x^2 - 1$ est un polynôme, donc elle est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Ainsi, $D_f = \mathbb{R}$. 3. Ensemble de définition de $g$ : La fonction $g(x) = \frac{x+1}{x-3}$ est une fonction rationnelle. Elle est définie pour tout $x$ sauf lorsque le dénominateur est nul. Le dénominateur est nul si $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Donc, $D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. 4. Ensemble de définition de $\frac{f}{g}$ : La fonction $\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2 - 1}{\frac{x+1}{x-3}}$. Pour que $\frac{f}{g}$ soit définie, il faut que $x \in D_f \cap D_g$ et que $g(x) \neq 0$. 5. Trouvons les valeurs où $g(x) = 0$ : $g(x) = \frac{x+1}{x-3} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$. 6. Donc, l'ensemble de définition de $\frac{f}{g}$ est : $$D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g \setminus \{x \mid g(x) = 0\} = \mathbb{R} \setminus \{3, -1\}$$ 7. Formule explicite de $\frac{f}{g}(x)$ : $$\frac{f}{g}(x) = \frac{x^2 - 1}{\frac{x+1}{x-3}} = (x^2 - 1) \times \frac{x-3}{x+1}$$ 8. Simplifions $x^2 - 1$ : $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$ 9. Donc : $$\frac{f}{g}(x) = (x-1)(x+1) \times \frac{x-3}{x+1} = (x-1)(x-3)$$ 10. Conclusion : L'ensemble de définition de $\frac{f}{g}$ est $\mathbb{R} \setminus \{3, -1\}$ et $$\frac{f}{g}(x) = (x-1)(x-3)$$