1. Énoncé du problème : Nous avons trois fonctions définies par : $f(x) = \sqrt{x - 2}$, $g(x) = \sqrt{9x - 18}$, et $h(x) = 3|x - 2|$. Nous devons : - Trouver l'ensemble de définition de chacune de ces fonctions. - Trouver l'ensemble de définition de la fonction produit $f \times g$. 2. Ensemble de définition : - Pour $f(x) = \sqrt{x - 2}$, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $$x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$ Donc, $D_f = [2, +\infty[$. - Pour $g(x) = \sqrt{9x - 18}$, on a : $$9x - 18 \geq 0 \Rightarrow 9x \geq 18 \Rightarrow x \geq 2$$ Donc, $D_g = [2, +\infty[$. - Pour $h(x) = 3|x - 2|$, la valeur absolue est définie pour tout réel, donc : $$D_h = \mathbb{R}$$ - Pour la fonction produit $(f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$, l'ensemble de définition est l'intersection des ensembles de définition de $f$ et $g$ : $$D_{f \times g} = D_f \cap D_g = [2, +\infty[ \cap [2, +\infty[ = [2, +\infty[ $$ 3. Déterminer $(f \times g)(x)$ : $$ (f \times g)(x) = \sqrt{x - 2} \times \sqrt{9x - 18} = \sqrt{(x - 2)(9x - 18)} $$ Factorisons $9x - 18$ : $$9x - 18 = 9(x - 2)$$ Donc : $$ (f \times g)(x) = \sqrt{(x - 2) \times 9(x - 2)} = \sqrt{9(x - 2)^2} = 3|x - 2| $$ 4. Comparaison entre $h$ et $(f \times g)$ : On a : $$h(x) = 3|x - 2|$$ $$ (f \times g)(x) = 3|x - 2|$$ Donc, pour tout $x$ dans $D_{f \times g} = [2, +\infty[$, $h(x) = (f \times g)(x)$. Cependant, $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ tandis que $(f \times g)$ est définie seulement sur $[2, +\infty[$. **Conclusion** : Les fonctions $h$ et $(f \times g)$ sont égales sur $[2, +\infty[$, mais pas sur tout $\mathbb{R}$ car $(f \times g)$ n'est pas définie en dehors de cet intervalle.