1. Énonçons la première question : Donner la définition d’un ensemble ouvert de $\mathbb{R}$. 2. Un ensemble $U \subset \mathbb{R}$ est dit ouvert si, pour tout point $x \in U$, il existe un intervalle ouvert centré en $x$, c’est-à-dire un intervalle de la forme $(x-\varepsilon, x+\varepsilon)$ avec $\varepsilon > 0$, entièrement contenu dans $U$. 3. Cela signifie que chaque point de $U$ est un point intérieur, c’est-à-dire qu’on peut "bouger" un peu autour de ce point sans sortir de l’ensemble. 4. Passons à la deuxième question : Donner la définition d’un ensemble fermé de $\mathbb{R}$. 5. Un ensemble $F \subset \mathbb{R}$ est dit fermé si son complémentaire dans $\mathbb{R}$ est un ensemble ouvert. 6. Autrement dit, $F$ contient toutes ses limites, ou encore, $F$ contient tous ses points adhérents. 7. Enfin, la troisième question : Définir l’adhérence $\overline{A}$ d’une partie $A \subset \mathbb{R}$. 8. L’adhérence $\overline{A}$ d’un ensemble $A$ est l’ensemble de tous les points $x \in \mathbb{R}$ tels que toute boule ouverte centrée en $x$ contient au moins un point de $A$. 9. Formellement, $\overline{A} = A \cup \{x \in \mathbb{R} : \forall \varepsilon > 0, (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \cap A \neq \emptyset\}$. 10. Cela signifie que l’adhérence de $A$ est $A$ augmenté de ses points limites, c’est-à-dire les points où on peut approcher $A$ aussi près que l’on veut. Réponses complètes aux trois questions de cours sur les ensembles ouverts, fermés et l’adhérence en $\mathbb{R}$.