1. **Énoncé du problème** : Étudier la branche infinie de la courbe (Cf) au voisinage de $+\infty$ et tracer la courbe dans un repère orthonormé. 2. **Partie 1 : Fonction $g$ définie par $g(x) = 2x - (x-1) \ln(x-1)$** 1. Déterminer le domaine $D_g$ : $g$ est définie si $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$, donc $D_g = ]1, +\infty[$. 2. Calculer $\lim_{x \to 1^+} g(x)$ : $$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(2x - (x-1) \ln(x-1)\right).$$ Posons $t = x-1$, alors $t \to 0^+$, $$\lim_{t \to 0^+} (2(t+1) - t \ln t) = 2 - \lim_{t \to 0^+} t \ln t.$$ Or $\lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0$, donc $$\lim_{x \to 1^+} g(x) = 2.$$ 3. Calculer la dérivée $g'(x)$ pour $x \in D_g$ : $$g'(x) = 2 - \frac{d}{dx} \left((x-1) \ln(x-1)\right).$$ En utilisant la règle du produit : $$\frac{d}{dx} ((x-1) \ln(x-1)) = \ln(x-1) + \frac{x-1}{x-1} = \ln(x-1) + 1.$$ Donc $$g'(x) = 2 - (\ln(x-1) + 1) = 1 - \ln(x-1).$$ 4. Étudier les variations de $g$ : $g'(x) = 0 \iff 1 - \ln(x-1) = 0 \Rightarrow \ln(x-1) = 1 \Rightarrow x-1 = e \Rightarrow x = e + 1.$ - Pour $x \in ]1, e+1[$, $x-1 < e$ donc $\ln(x-1) < 1$ donc $g'(x) > 0$ (croissante). - Pour $x > e+1$, $\ln(x-1) > 1$ donc $g'(x) < 0$ (décroissante). Ainsi, $g$ est croissante sur $]1, e+1[$ et décroissante sur $]e+1, +\infty[$. 5. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[e+1, e^3+1]$ : - Calculons $g(e+1)$ : $$g(e+1) = 2(e+1) - e \ln e = 2(e+1) - e = 2e + 2 - e = e + 2 > 0.$$ - Calculons $g(e^3+1)$ : $$g(e^3+1) = 2(e^3+1) - e^3 \ln e^3 = 2e^3 + 2 - e^3 \times 3 = 2e^3 + 2 - 3e^3 = -e^3 + 2 < 0.$$ Par continuité de $g$ sur $[e+1, e^3+1]$ et le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une racine $\alpha$ dans cet intervalle. Comme $g$ est décroissante sur $[e+1, +\infty[$, cette racine est unique. 6. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $]1, \alpha]$ et $[\alpha, +\infty[$ : - Sur $]1, e+1[$, $g$ est croissante et $g(1^+) = 2 > 0$, donc $g(x) > 0$. - Sur $[e+1, \alpha[$, $g$ décroît de $g(e+1) > 0$ à $g(\alpha) = 0$, donc $g(x) > 0$. - Sur $[\alpha, +\infty[$, $g$ décroît et $g(\alpha) = 0$, donc $g(x) \leq 0$. 3. **Partie 2 : Fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{\ln(e^{2x} - 1)}{e^x}$** 1. Déterminer le domaine $D_f$ : $$e^{2x} - 1 > 0 \Rightarrow e^{2x} > 1 \Rightarrow 2x > 0 \Rightarrow x > 0.$$ Donc $D_f = ]0, +\infty[$. 2. Trouver les limites aux bornes de $D_f$ : - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(e^{2x} - 1)}{e^x}$. Or $e^{2x} - 1 \sim 2x$ quand $x \to 0^+$, donc $$\ln(e^{2x} - 1) \sim \ln(2x) \to -\infty,$$ et $e^x \to 1$, donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty.$$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(e^{2x} - 1)}{e^x}.$ Comme $e^{2x} - 1 \sim e^{2x}$, $$\ln(e^{2x} - 1) \sim 2x,$$ donc $$f(x) \sim \frac{2x}{e^x} \to 0.$$ 3. Calculer la dérivée $f'(x)$ : $$f(x) = \frac{\ln(e^{2x} - 1)}{e^x} = \ln(e^{2x} - 1) \cdot e^{-x}.$$ En utilisant la règle du produit : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(e^{2x} - 1) \cdot e^{-x} + \ln(e^{2x} - 1) \cdot \frac{d}{dx} e^{-x}.$$ Calculons chaque terme : $$\frac{d}{dx} \ln(e^{2x} - 1) = \frac{2 e^{2x}}{e^{2x} - 1},$$ $$\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}.$$ Donc $$f'(x) = \frac{2 e^{2x}}{e^{2x} - 1} e^{-x} - \ln(e^{2x} - 1) e^{-x} = e^{-x} \left( \frac{2 e^{2x}}{e^{2x} - 1} - \ln(e^{2x} - 1) \right).$$ 4. Étudier les variations de $f$ à partir du signe de $f'(x)$. 5. Montrer que pour tout $x \in D_f$, $$f(x) \leq \frac{2 \sqrt{\alpha}}{\alpha - 1}$$ où $\alpha$ est la racine unique de $g$ définie précédemment. 4. **Tracer la courbe (Cf) dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$** - La courbe (Cf) est l'ensemble des points $(x, f(x))$ pour $x \in D_f$. - La branche infinie au voisinage de $+\infty$ de $f$ tend vers $0$. - La fonction $g$ est définie sur $]1, +\infty[$ avec un maximum local en $x = e+1$ et une racine unique $\alpha$ dans $[e+1, e^3+1]$. - Ces informations permettent de tracer qualitativement les courbes. **Réponse finale** : - Domaine de $g$ : $]1, +\infty[$. - $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 2$. - $g'(x) = 1 - \ln(x-1)$. - $g$ croissante sur $]1, e+1[$, décroissante sur $]e+1, +\infty[$. - $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [e+1, e^3+1]$. - $g(x) > 0$ sur $]1, \alpha[$, $g(x) \leq 0$ sur $[\alpha, +\infty[$. - Domaine de $f$ : $]0, +\infty[$. - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. - $f'(x) = e^{-x} \left( \frac{2 e^{2x}}{e^{2x} - 1} - \ln(e^{2x} - 1) \right)$. - $f(x) \leq \frac{2 \sqrt{\alpha}}{\alpha - 1}$. - Courbes tracées dans un repère orthonormé.