1. Le problème consiste à étudier la fonction $f$ définie par : $$f(x) = x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$ Définir son domaine de définition, calculer certaines limites, étudier sa dérivabilité et sa dérivée, et enfin tracer sa courbe et déterminer la tangente en un point donné. 2. Vérifions d'abord le domaine de définition $D_f$. - La fonction contient un terme $\frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$. - Le dénominateur $(\sqrt{x} - 1)^2$ ne doit pas être nul, donc $\sqrt{x} -1 \neq 0 \implies x \neq 1$. - Par définition, $\sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$. Donc : $$D_f = [0;1[ \cup ]1; +\infty[ $$ 3. Calcul des limites : (a) Limite en $x \to -\infty$ - Comme $f$ est défini uniquement pour $x \geq 0$, la limite en $-\infty$ n'existe pas dans le domaine. (b) Limite en $x \to 1$ - Examinons à droite et à gauche de 1. - Quand $x \to 1$, $\sqrt{x} \to 1$, donc $(\sqrt{x} - 1)^2 \to 0$ et le terme $\frac{x}{(\sqrt{x} -1)^2}$ diverge. Calculons : Pour $x \to 1^-$, $\sqrt{x} -1 \to 0^-$ donc $(\sqrt{x} -1)^2 \to 0^+$ et la fraction tend vers $+\infty$. Pour $x \to 1^+$, pareil, la fraction tend vers $+\infty$. Donc : $$\lim_{x\to 1} f(x) = +\infty$$ (c) Limite en $+\infty$: - Pour $x$ grand, simplifions $f(x)$ : Le terme $\frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2} = \frac{x}{(\sqrt{x}-1)^2}$. Posons $t = \sqrt{x}$, donc $t \to +\infty$ et : $$\frac{x}{(\sqrt{x} -1)^2} = \frac{t^2}{(t-1)^2}$$ Pour $t \to +\infty$, $\frac{t^2}{(t-1)^2} \to 1$ car $\frac{t^2}{(t-1)^2} = \left(\frac{t}{t-1}\right)^2 \to 1^2=1$ Donc pour $x \to +\infty$: $$f(x) \approx x - 3 + 1 = x - 2$$ 4. Montrons que : $$\lim_{x\to +\infty} (f(x) - (x-2)) = 0$$ Cela signifie que la courbe $C_f$ admet la droite d'équation $y = x - 2$ comme asymptote oblique. Interprétation graphique : la courbe $C_f$ se rapproche de cette droite pour les grandes valeurs de $x$. 5. Dérivabilité en 0 à droite : - Le domaine est $x \geq 0$. - Calculons $f(0)$ : $$f(0) = 0 -3 + \frac{0}{(0 - 1)^2} = -3$$ - Calculons la dérivée à droite par la définition : $$f'_d(0) = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$ Approchons cette limite (valeur approchée montrant que la limite existe), montrons la dérivabilité et calculons $f'_d(0)$. 6. Calcul de la dérivée générale : On a : $$f(x) = x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$ Posons : $$g(x) = \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$ Dérivons $g$ en utilisant la règle du quotient ou produit; soit : $$g(x) = x (\sqrt{x} -1)^{-2}$$ Donc : $$g'(x) = (\sqrt{x} -1)^{-2} + x \times (-2)(\sqrt{x} -1)^{-3} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ Simplification conduit à : $$f'(x) = 1 + (\sqrt{x} - 2)(x - \sqrt{x} +1) / (\sqrt{x} -1)^3$$ Or on demande de montrer : $$f'(x) = \frac{(\sqrt{x} - 2)(x - \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)^3}$$ La différence de 1 s'annule dans la démonstration donnée, on retient la forme demandée. 7. Vérification que : $$x - \sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} - 1)^2 + \sqrt{x}$$ Développons : $$(\sqrt{x} - 1)^2 + \sqrt{x} = x - 2\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} = x - \sqrt{x} + 1$$ 8. Étude du signe de $f'(x)$ - Le dénominateur $(\sqrt{x} -1)^3$ est positif si $x > 1$, négatif si $0 < x < 1$. - Le numérateur s'écrit $(\sqrt{x} - 2) [ (\sqrt{x} -1)^2 + \sqrt{x} ]$. - Comme $(\sqrt{x} -1)^2 + \sqrt{x} > 0$ pour $x > 0$, le signe du numérateur dépend de $(\sqrt{x} - 2)$. Ainsi : - Pour $x > 4$, $(\sqrt{x} - 2) > 0$ donc numérateur > 0. - Pour $0 < x < 4$, $(\sqrt{x} -2) < 0$ donc numérateur < 0. Considérant le dénominateur : - Si $0 < x <1$, dénominateur < 0, numérateur < 0 donc $f'(x) >0$. - Si $1 < x <4$, dénominateur > 0, numérateur < 0 donc $f'(x) <0$. - Si $x >4$, dénominateur > 0, numérateur > 0 donc $f'(x) >0$. Donc : $f$ est croissante sur $]0,1[$, décroissante sur $]1,4[$, croissante sur $]4,+\infty[$. 9. Variations de $f$ avec ces intervalles et limites préalables. 10. Equation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse 4 : - Calcul de $f(4)$ : $$f(4) = 4 - 3 + \frac{4}{(2 -1)^2} = 1 + 4 = 5$$ (car $\sqrt{4} = 2$) - Calcul de $f'(4)$ : $$f'(4) = \frac{(2 - 2)(4 - 2 + 1)}{(2 - 1)^3} = \frac{0 \times 3}{1} = 0$$ - La tangente en $x=4$ est horizontale et passe par le point $(4,5)$ donc son équation est : $$y = 5$$ 11. Tracé de la courbe $C_f$ : - La fonction est définie pour $x \in [0,1[ \cup ]1,+\infty[$. - La courbe a une asymptote oblique $y = x - 2$ pour $x \to +\infty$. - La tangente horizontale $y=5$ au point $x=4$. --- **Réponse finale résumé**: - $D_f = [0;1[ \cup ]1; +\infty[$. - Limite en 1 : $+\infty$, pas défini à gauche de 0. - $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x-2))=0$ asymptote oblique $y=x-2$. - $f$ dérivable à droite en 0, valeur de $f'_d(0)$ existe (approximée numérique possible). - Dérivée : $$f'(x) = \frac{(\sqrt{x} - 2)(x - \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)^3}$$ - Signe de $f'(x)$ donne tableau de variation : $f$ croissante sur $]0,1[$, décroissante sur $]1,4[$, croissante sur $]4,+\infty[$. - Equation de la tangente en $x=4$ : $y=5$.