1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} x(\ln x - 1)^2 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$ 2. **Déterminer le domaine de définition $D_f$ :** La fonction $f$ est définie pour $x > 0$ par la formule donnée, et en $0$ par $f(0) = 0$. Donc $$D_f = [0, +\infty[.$$ 3. **Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** On a $$f(x) = x(\ln x - 1)^2 = x(\ln^2 x - 2 \ln x + 1).$$ Quand $x \to +\infty$, $\ln x \to +\infty$, donc $\ln^2 x$ domine. Ainsi, $$f(x) \sim x \ln^2 x,$$ qui tend vers $+\infty$. Donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 4. **Continuité à droite en 0 :** Étudions $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x(\ln x - 1)^2.$$ Or, $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$, mais $x \to 0$. Posons $t = -\ln x$, donc $x = e^{-t}$ avec $t \to +\infty$. On a $$f(x) = e^{-t} ( -t - 1)^2 = e^{-t} (t + 1)^2.$$ Quand $t \to +\infty$, $e^{-t}$ tend vers 0 plus vite que $(t+1)^2$ tend vers l'infini, donc $$\lim_{t \to +\infty} e^{-t} (t+1)^2 = 0.$$ Donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0),$$ ce qui montre que $f$ est continue à droite en 0. 5. **Dérivabilité en 0 à droite :** Calculons la dérivée à droite en 0 : $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(\ln h - 1)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\ln h - 1)^2.$$ Quand $h \to 0^+$, $\ln h \to -\infty$, donc $(\ln h - 1)^2 \to +\infty$. Donc la dérivée à droite en 0 n'existe pas (tend vers $+\infty$), ce qui signifie que la tangente verticale est asymptote en 0. 6. **Étude des variations de $f$ :** Calculons $f'(x)$ pour $x > 0$ : $$f(x) = x(\ln x - 1)^2,$$ soit $$f'(x) = (\ln x - 1)^2 + x \cdot 2(\ln x - 1) \cdot \frac{1}{x} = (\ln x - 1)^2 + 2(\ln x - 1) = (\ln x - 1)(\ln x - 1 + 2) = (\ln x - 1)(\ln x + 1).$$ Étudions le signe de $f'(x)$ : - $f'(x) = 0$ quand $\ln x = 1$ ou $\ln x = -1$, c'est-à-dire $x = e$ ou $x = e^{-1}$. - Pour $x \in ]0, e^{-1}[$, $\ln x < -1$, donc $(\ln x - 1) < 0$ et $(\ln x + 1) < 0$, donc $f'(x) > 0$. - Pour $x \in ]e^{-1}, e[$, $\ln x \in ]-1,1[$, donc $(\ln x - 1) < 0$ et $(\ln x + 1) > 0$, donc $f'(x) < 0$. - Pour $x > e$, $\ln x > 1$, donc $(\ln x - 1) > 0$ et $(\ln x + 1) > 0$, donc $f'(x) > 0$. Donc $f$ est croissante sur $]0, e^{-1}[$, décroissante sur $]e^{-1}, e[$, et croissante sur $]e, +\infty[$. 7. **Point d'inflexion :** Calculons $f''(x)$ : $$f'(x) = (\ln x - 1)(\ln x + 1),$$ soit $$f'(x) = (\ln x)^2 - 1.$$ Donc $$f''(x) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}.$$ Le point d'inflexion est où $f''(x) = 0$, c'est-à-dire $$\ln x = 0 \Rightarrow x = 1.$$ 8. **Branches infinies :** - Quand $x \to 0^+$, $f(x) \to 0$. - Quand $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. Il n'y a pas d'asymptote horizontale ou oblique autre que la tangente verticale en 0. 9. **Résumé :** - $D_f = [0, +\infty[$ - $f$ continue à droite en 0 - $f$ non dérivable en 0 à droite (dérivée infinie) - $f$ croissante sur $]0, e^{-1}[$, décroissante sur $]e^{-1}, e[$, croissante sur $]e, +\infty[$ - Point d'inflexion en $x=1$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$