1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = x + 1 + \ln x$. 2. **Calcul des limites de $g$ en 0 et $+\infty$ :** - Quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$ donc $g(x) = x + 1 + \ln x \to -\infty$. - Quand $x \to +\infty$, $x \to +\infty$ domine, donc $g(x) \to +\infty$. 3. **Étude des variations de $g$ :** - La dérivée est $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$. - Sur $]0; +\infty[$, $x > 0$ donc $g'(x) > 0$. - Donc $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. 4. **Existence et unicité de la solution $\alpha$ de $g(x) = 0$ :** - $g$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$. - $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty < 0$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty > 0$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique $\alpha \in ]0; +\infty[$ telle que $g(\alpha) = 0$. 5. **Encadrement de $\alpha$ :** - Calculons $g(0.2) = 0.2 + 1 + \ln(0.2) \approx 1.2 - 1.609 = -0.409 < 0$. - Calculons $g(0.3) = 0.3 + 1 + \ln(0.3) \approx 1.3 - 1.204 = 0.096 > 0$. - Donc $\alpha \in [0.2; 0.3]$. 6. **Signe de $g(x)$ sur $]0; +\infty[$ :** - Comme $g$ est strictement croissante et $g(\alpha) = 0$, - Pour $x < \alpha$, $g(x) < 0$. - Pour $x > \alpha$, $g(x) > 0$. **Réponse finale :** - $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. - $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. - L'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [0.2; 0.3]$. - $g(x) < 0$ pour $x \in ]0; \alpha[$ et $g(x) > 0$ pour $x \in ]\alpha; +\infty[$.