1. **Énoncé du problème :** On étudie la fonction $g$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $$g(x) = 2\ln(x+1) - \frac{x}{x+1}.$$ 2. **Détermination de l'ensemble de définition $D_g$ :** La fonction $g$ est définie si et seulement si $x+1 > 0$ (car $\ln$ est défini sur $]0,+\infty[$) et $x+1 \neq 0$ (dénominateur non nul). Donc $$D_g = ]-1,+\infty[.$$ 3. **Calcul de la limite de $g(x)$ quand $x \to -1^+$ :** On étudie $$\lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1^+} \left(2\ln(x+1) - \frac{x}{x+1}\right).$$ - $\ln(x+1) \to \ln(0^+) = -\infty$ donc $2\ln(x+1) \to -\infty$. - $\frac{x}{x+1} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$. Donc $$g(x) \sim -\infty - (-\infty)$$ ce qui est une forme indéterminée. Pour mieux analyser, posons $t = x+1 \to 0^+$, alors $$g(x) = 2\ln t - \frac{t-1}{t} = 2\ln t - \left(\frac{t}{t} - \frac{1}{t}\right) = 2\ln t - (1 - \frac{1}{t}) = 2\ln t - 1 + \frac{1}{t}.$$ Quand $t \to 0^+$, $\ln t \to -\infty$ mais $\frac{1}{t} \to +\infty$. La croissance de $\frac{1}{t}$ domine celle de $2\ln t$, donc $$\lim_{t \to 0^+} g(x) = +\infty.$$ **Interprétation géométrique :** La courbe $\zeta_\tau$ a une branche verticale qui tend vers $+\infty$ quand $x \to -1^+$. 4. **Calcul de la limite de $g(x)$ quand $x \to +\infty$ :** $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(2\ln(x+1) - \frac{x}{x+1}\right).$$ - $2\ln(x+1) \to +\infty$ lentement. - $\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} \to 1$. Donc $$g(x) \sim 2\ln x - 1 \to +\infty.$$ **Branche infinie au voisinage de $+\infty$ :** La fonction $g$ tend vers $+\infty$ lentement, donc la courbe s'élève indéfiniment. 5. **Dérivabilité et calcul de $g'(x)$ :** La fonction $g$ est composée de fonctions dérivables sur $]-1,+\infty[$. Calculons $g'(x)$ : $$g'(x) = 2 \times \frac{1}{x+1} - \frac{(x+1) \times 1 - x \times 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{x+1} - \frac{(x+1) - x}{(x+1)^2} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}.$$ 6. **Étude des variations de $g$ :** - $g'(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+1}{(x+1)^2}.$ - Le dénominateur $(x+1)^2 > 0$ pour tout $x \in ]-1,+\infty[$. - Le signe de $g'(x)$ dépend de $2x+1$. Donc : - $g'(x) > 0$ si $2x+1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}$ - $g'(x) < 0$ si $x < -\frac{1}{2}$ **Tableau de variations :** - $g$ décroît sur $]-1,-\frac{1}{2}[$ - $g$ croît sur $]-\frac{1}{2},+\infty[$ 7. **Solutions de l'équation $g(x) = 0$ :** - Vérifions $x=0$ : $$g(0) = 2\ln(1) - \frac{0}{1} = 0,$$ donc $0$ est une solution. - Montrons qu'il existe une autre solution $\alpha$ dans $]-1,0[$ avec $-0,8 < \alpha < -0,7$. Calculons $g(-0,8)$ et $g(-0,7)$ : - $g(-0,8) = 2\ln(0,2) - \frac{-0,8}{0,2} = 2(-1,6094) + 4 = -3,2188 + 4 = 0,7812 > 0$ - $g(-0,7) = 2\ln(0,3) - \frac{-0,7}{0,3} = 2(-1,2039) + 2,3333 = -2,4078 + 2,3333 = -0,0745 < 0$ Par le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s'annule une fois entre $-0,8$ et $-0,7$. 8. **Calcul de la dérivée seconde $g''(x)$ :** $$g''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x+1}{(x+1)^2} \right).$$ Utilisons la règle du quotient : $$g''(x) = \frac{(2)(x+1)^2 - (2x+1) \times 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{2(x+1)^2 - 4x(x+1) - 2(x+1)}{(x+1)^4}.$$ Développons le numérateur : - $2(x+1)^2 = 2(x^2 + 2x +1) = 2x^2 + 4x + 2$ - $4x(x+1) = 4x^2 + 4x$ - $2(x+1) = 2x + 2$ Donc numérateur : $$2x^2 + 4x + 2 - 4x^2 - 4x - 2x - 2 = (2x^2 - 4x^2) + (4x - 4x - 2x) + (2 - 2) = -2x^2 - 2x.$$ Ainsi, $$g''(x) = \frac{-2x^2 - 2x}{(x+1)^4} = \frac{-2x(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{-2x}{(x+1)^3}.$$ 9. **Concavité et point d'inflexion :** - Le signe de $g''(x)$ dépend de $-2x$ car $(x+1)^3 > 0$ sur $]-1,+\infty[$. - $g''(x) > 0$ si $x < 0$ (concave vers le haut) - $g''(x) < 0$ si $x > 0$ (concave vers le bas) Le point d'inflexion est en $x=0$ car $g''(0) = 0$ et le signe change. 10. **Résumé et construction de la courbe $\zeta_\tau$ :** - Domaine : $]-1,+\infty[$ - Limite en $-1^+$ : $g(x) \to +\infty$ - Limite en $+\infty$ : $g(x) \to +\infty$ - Variation : décroissante sur $]-1,-\frac{1}{2}[$, croissante sur $]-\frac{1}{2},+\infty[$ - Zéros : $x=0$ et $\alpha \in ]-0,8,-0,7[$ - Concavité : concave vers le haut sur $]-1,0[$, vers le bas sur $]0,+\infty[$ - Point d'inflexion : $x=0$ **Fin de la résolution de la première question.**