1. Énoncé du problème : Étudier la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 + 2 - 2 \ln x$. 2. Calcul de la dérivée $f'(x)$ : La dérivée de $x^2$ est $2x$. La dérivée de $2$ est $0$. La dérivée de $-2 \ln x$ est $-2 \times \frac{1}{x} = -\frac{2}{x}$. Donc, $f'(x) = 2x - \frac{2}{x}$. 3. Montrer que $f'(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x}$ : Pour cela, factorise $f'(x) = 2x - \frac{2}{x}$ en mettant sur un dénominateur commun : $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x}$$ Puis, factorise $x^2 - 1$ en produit de facteurs conjugués : $$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$$ Donc, $f'(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x}$. 4. Étude du signe de $f'(x)$ : - Le dénominateur $x$ est strictement positif sur $]0 ; +\infty[$. - Le signe de $f'(x)$ dépend donc du signe de $(x+1)(x-1)$. - Comme $x > 0$, $x+1 > 0$ toujours. - Le signe de $f'(x)$ dépend donc du signe de $x-1$. - Pour $x < 1$, $x-1 < 0$ donc $f'(x) < 0$. - Pour $x > 1$, $x-1 > 0$ donc $f'(x) > 0$. 5. Sens de variation de $f$ : - $f$ est décroissante sur $]0 ; 1[$ car $f'(x) < 0$. - $f$ est croissante sur $]1 ; +\infty[$ car $f'(x) > 0$. 6. Pour le tableau de variations, place le point critique en $x=1$ où $f'(1) = 0$. 7. Pour la question sur $f(1)$, calcule $f(1) = 1^2 + 2 - 2 \ln 1 = 1 + 2 - 0 = 3$. 8. Pour montrer que $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$, réfléchis à la forme de $f$ et à ses variations. N'hésite pas à me demander pour chaque étape si tu souhaites que je t'aide à avancer !