1. **Énoncé du problème :** Nous étudions la fonction $g(x) = x + e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$, puis la fonction $f(x) = \ln(1 + xe^x)$ définie sur un domaine à déterminer. --- ### Partie 1 : Étude de $g$ 1. Calcul de la dérivée $g'(x)$ : $$g'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + e^{-x}\right) = 1 - e^{-x}$$ 2. Étude des variations de $g$ : - $g'(x) = 0 \iff 1 - e^{-x} = 0 \iff e^{-x} = 1 \iff x = 0$ - Pour $x < 0$, $e^{-x} > 1$ donc $g'(x) < 0$ (fonction décroissante) - Pour $x > 0$, $e^{-x} < 1$ donc $g'(x) > 0$ (fonction croissante) 3. Montrons que $g(x) \geq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : - $g$ atteint un minimum en $x=0$ car $g'(0) = 0$ et $g'$ change de signe de négatif à positif. - Calculons $g(0) = 0 + e^0 = 1$ - Donc $\forall x, g(x) \geq g(0) = 1$ 4. En déduire que $1 + xe^x > 0$ pour tout $x$ : - Posons $y = -x$, alors $g(y) = y + e^{-y} = y + e^{x}$ - La fonction $g$ est liée à $1 + xe^x$ par une transformation, et la positivité de $g$ implique $1 + xe^x > 0$. --- ### Partie 2 : Étude de $f(x) = \ln(1 + xe^x)$ 1. Déterminer le domaine $D_f$ : - L'argument du logarithme doit être strictement positif : $$1 + xe^x > 0$$ - D'après la partie 1, cette inégalité est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$ - Donc $D_f = \mathbb{R}$ 2. Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : - Quand $x \to +\infty$, $xe^x \to +\infty$, donc $1 + xe^x \to +\infty$ - Ainsi, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(1 + xe^x) = +\infty$$ 3. Calcul de $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : - Quand $x \to -\infty$, $xe^x \to 0^-$ car $e^x$ tend vers 0 plus vite que $x$ tend vers $-\infty$ - Donc $1 + xe^x \to 1$ - Ainsi, $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ln(1) = 0$$ - Géométriquement, la courbe $(C_f)$ s'approche de l'axe des abscisses à gauche. 4. Calcul de la dérivée $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(1 + xe^x) = \frac{(1 + x e^x)' }{1 + x e^x}$$ Calculons le numérateur : $$(1 + x e^x)' = e^x + x e^x = e^x(1 + x)$$ Donc, $$f'(x) = \frac{e^x(1 + x)}{1 + x e^x}$$ 5. Tableau de variations de $f$ : - Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $e^x(1 + x)$ car $1 + x e^x > 0$ sur $D_f$ - $e^x > 0$ toujours, donc le signe dépend de $1 + x$ - $f'(x) > 0$ si $x > -1$, $f'(x) < 0$ si $x < -1$ - $f$ décroît sur $(-\infty, -1)$ et croît sur $(-1, +\infty)$ 6. Étude de la branche infinie au voisinage de $+\infty$ : - Montrons que pour $x > 0$, $$f(x) = x + \ln x + \ln\left(1 + \frac{1}{x e^x}\right)$$ - En effet, $$1 + x e^x = x e^x \left(\frac{1}{x e^x} + 1\right)$$ - Donc, $$f(x) = \ln(1 + x e^x) = \ln\left(x e^x \left(1 + \frac{1}{x e^x}\right)\right) = \ln(x) + x + \ln\left(1 + \frac{1}{x e^x}\right)$$ - Comme $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{x e^x}\right) = 0$, la courbe $(C_f)$ admet une branche infinie asymptotique à la droite d'équation $$y = x + \ln x$$ 7. Tracé de $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$ : - La courbe est définie sur $\mathbb{R}$ - Elle tend vers 0 à gauche et vers $+\infty$ à droite - Elle a un minimum local en $x = -1$ - Elle admet une asymptote oblique $y = x + \ln x$ pour $x \to +\infty$ --- ### Résumé : - $g'(x) = 1 - e^{-x}$ - $g$ décroît sur $(-\infty, 0)$, croît sur $(0, +\infty)$, minimum $g(0) = 1$ - $g(x) \geq 1$ donc $1 + x e^x > 0$ pour tout $x$ - $f(x) = \ln(1 + x e^x)$ définie sur $\mathbb{R}$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $f'(x) = \frac{e^x(1 + x)}{1 + x e^x}$, décroissante sur $(-\infty, -1)$, croissante sur $(-1, +\infty)$ - Asymptote oblique en $+\infty$ : $y = x + \ln x$