1. **Énoncé du problème :** Étudier les fonctions $g$ et $f$ définies par : - $g(x) = x - 1 - \ln x$ pour $x > 0$ - $f(x) = x^2 - x \ln x$ pour $x > 0$ et $f(0) = 0$ 2. **Partie 1 : Étude de $g$** ① a. Calcul de $g'(x)$ : $$g'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1 - \ln x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$$ ① b. Étude des variations de $g$ : - Le dénominateur $x > 0$ est toujours positif. - Le signe de $g'(x)$ dépend de $x-1$. - Pour $x < 1$, $g'(x) < 0$ donc $g$ décroît. - Pour $x > 1$, $g'(x) > 0$ donc $g$ croît. - $g$ a un minimum en $x=1$. ② Valeur minimale de $g$ : $$g(1) = 1 - 1 - \ln 1 = 0$$ Donc $g(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$. 3. **Partie 2 : Étude de $f$** ① Domaine de définition $D_f$ : - $f$ est définie pour $x > 0$ et en $0$ par continuité. - Donc $D_f = [0, +\infty[$. ② a. Continuité en $0^+$ : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - x \ln x)$$ - $x^2 \to 0$ - $x \ln x \to 0$ car $x \ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$ - Donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)$, $f$ est continue à droite en 0. ② b. Dérivabilité en $0^+$ : Calcul de $f'(x)$ pour $x > 0$ : $$f'(x) = 2x - (\ln x + 1) = 2x - \ln x - 1$$ Calcul de la dérivée à droite en 0 : $$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 - h \ln h}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h - \ln h) = +\infty$$ Donc $f$ n'est pas dérivable en 0 à droite. Géométriquement, la tangente verticale en 0. ③ Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - x \ln x) = +\infty$$ Car $x^2$ domine $x \ln x$. Branche infinie : la courbe tend vers $+\infty$. ④ a. Montrer que $f'(x) = x + g(x)$ : $$f'(x) = 2x - \ln x - 1 = x + (x - 1 - \ln x) = x + g(x)$$ ④ b. Variations de $f$ : - Comme $g(x) \geq 0$, $f'(x) \geq x$. - Pour $x > 0$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $D_f$. ⑤ a. Tangente $(\Delta)$ d'équation $y = x$ au point $A(1;1)$ : - $f(1) = 1^2 - 1 \cdot \ln 1 = 1$. - $f'(1) = 1 + g(1) = 1 + 0 = 1$. - La pente de la tangente est 1, donc $(\Delta)$ est tangente en $A$. ⑤ b. Positions relatives : - $f(x) - x = x^2 - x \ln x - x = x(x - \ln x - 1) = x g(x) \geq 0$. - Donc la courbe est au-dessus de la droite sauf en $x=1$. ⑥ a. Calcul de $f''(x)$ : $$f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} (2x - \ln x - 1) = 2 - \frac{1}{x}$$ ⑥ b. Concavité et point d'inflexion : - $f''(x) > 0$ si $x > \frac{1}{2}$ (concave vers le haut) - $f''(x) < 0$ si $0 < x < \frac{1}{2}$ (concave vers le bas) - Point d'inflexion en $x = \frac{1}{2}$. ⑦ Tracé de $(C_f)$ : - Courbe croissante, tangente en $A(1;1)$, concavité changeante en $x=\frac{1}{2}$. ⑧ a. Fonction réciproque $f^{-1}$ : - $f$ strictement croissante sur $[0,+\infty[$ donc bijective sur son image $J = f([0,+\infty[)$. ⑧ b. $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ car $f$ est dérivable et $f'(x) > 0$. ⑧ c. Calcul de $(f^{-1})'(1)$ : - $f(1) = 1$, donc $f^{-1}(1) = 1$. - $$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{1} = 1$$ ⑧ d. Tracé de $(C_{f^{-1}})$ : - Symétrique de $(C_f)$ par rapport à la droite $y=x$.