1. **Énoncé du problème :** Étudier diverses propriétés de la fonction définie par $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1-x} - 1}{x} & x \in (-\infty, 0) \\ \frac{\sqrt{x}}{x-1} \sin \left( \frac{\pi}{x} \right) & x \in (0,1) \cup (1,+\infty) \end{cases}$$ 2. **Limite en 0 :** Pour $x\to 0^-$ : $$f(x) = \frac{\sqrt{1-x} - 1}{x}$$ Utilisons la conjugaison : $$\frac{\sqrt{1-x} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{1-x} + 1}{\sqrt{1-x} + 1} = \frac{1 - x - 1}{x(\sqrt{1-x} + 1)} = \frac{-x}{x(\sqrt{1-x}+1)} = -\frac{1}{\sqrt{1-x}+1}$$ Donc, $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-0} + 1} = -\frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2}$$ Pour $x \to 0^+$ : $$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1} \sin \left( \frac{\pi}{x} \right)$$ On a $\left| f(x) \right| \leq \frac{\sqrt{x}}{|x-1|}$, et comme $\sqrt{x} \to 0$ et $|x-1| \to 1$, alors $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$$ Les limites à gauche et à droite en 0 ne sont pas égales donc $f$ n'a pas de limite en 0. 3. **Limite en $+\infty$ :** Pour $x \to +\infty$, $$\left| f(x) \right| = \left| \frac{\sqrt{x}}{x-1} \sin \left( \frac{\pi}{x} \right) \right| \leq \frac{\sqrt{x}}{x-1}$$ Or, $$\frac{\sqrt{x}}{x-1} = \frac{\sqrt{x}}{x(1 - \frac{1}{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}(1 - \frac{1}{x})} \to 0$$ Donc, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$$ 4. **Prolongement par continuité en 1 :** Analysons $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}}{x-1} \sin \left( \frac{\pi}{x} \right)$$ Notez que $\sin(\frac{\pi}{x})$ est bornée entre -1 et 1. Posons $x = 1 + h$, alors $h \to 0$ et $$f(1+h) = \frac{\sqrt{1+h}}{h} \sin \left( \frac{\pi}{1 + h} \right)$$ Comme $\sin$ n'a pas de limite claire à cause de $\frac{\pi}{1+h}$ oscillant, on teste si $f$ est prolongeable par continuité en 1. On cherche si $\lim_{x \to 1} f(x) = L$ existe. Comme $\sin(\frac{\pi}{x})$ oscille, pas de limite définie. Donc on vérifie si la fonction $$g(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$$ compense l'oscillation. Étudions le comportement de $\sin(\pi/x)$ près de 1. La fonction n'a pas de limite précise. Conclusion : $f$ n'est pas prolongeable par continuité en 1. 5. **Continuité sur $]1, +\infty[$:** La fonction $f$ y est définie par $$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1} \sin \left( \frac{\pi}{x} \right)$$ Les fonctions $\sqrt{x}$, $1/(x-1)$ et $\sin$ sont continues sur cet intervalle et la composition est donc continue sur $]1,+\infty[$. 6. **a) Monotonie sur $(-\infty, 0)$ :** $$f(x) = \frac{\sqrt{1-x} - 1}{x}$$ Posons $$g(x) = \sqrt{1-x} - 1$$ La dérivée de $f$ se calcule par la règle du quotient mais plus simple est d'étudier la dérivée directe : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{1-x} - 1}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} - (\sqrt{1-x} - 1)}{x^2}$$ Simplifions le numérateur : $$-\frac{x}{2\sqrt{1-x}} - \sqrt{1-x} + 1$$ Pour $x < 0$, on montre que ce numérateur est négatif, donc $f'(x) < 0$ sur $]-\infty, 0[$, donc $f$ est strictement décroissante. 6. **b) Image de $]-\infty, 0[$ :** Comme $f$ est strictement décroissante et continue sur cet intervalle et $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{1-x} - 1}{x} = 0$$ (car numérateur de l'ordre de $\sqrt{-x}$ et dénominateur $x \to -\infty$) et $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{1}{2}$$ Alors, $$f(]-\infty, 0[) = (-\frac{1}{2}, 0)$$ 7. **Fonction $g$ sur $]0, \pi/2[$ définie par $g(x) = f(1/\cos x)$ :** 7. a) Limite en $\pi/2^-$ : Comme $x \to \pi/2^-$, $\cos x \to 0^+$, donc $$1 / \cos x \to +\infty$$ Donc $$\lim_{x \to \pi/2^-} g(x) = \lim_{t \to +\infty} f(t) = 0$$ 7. b) Continuité de $g$ sur $]0, \pi/2[$ : Comme la composition de fonctions continues là où définies, et $1/\cos x$ est continue sur $]0, \pi/2[$, $g$ est continue sur cet intervalle. **Résumé final :** - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1/2$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ donc limite en 0 n'existe pas. - $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$ - $f$ n'est pas prolongeable par continuité en 1. - $f$ est continue sur $]1,+\infty[$. - $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0[$. - $f(]-\infty,0[) = (-1/2,0)$. - La fonction $g(x) = f(1/\cos x)$ tend vers 0 en $\pi/2^-$ et est continue sur $]0, \pi/2[$.