1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f(x) = x - n \ln(x)$ définie pour $x > 0$, avec $n \neq 0$ et $f(0) = 0$. 2. **Continuité en 0** : - Pour montrer que $f$ est continue en 0, on doit vérifier que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$. - Calculons $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - n \ln(x))$. - Comme $\lim_{x \to 0^+} x = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, alors $-n \ln(x) \to +\infty$ si $n > 0$ et $-n \ln(x) \to -\infty$ si $n < 0$. - Donc, $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ n'existe pas fini sauf si on considère la définition $f(0) = 0$ comme une extension par continuité si possible. 3. **Calcul de $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$** : - On a $\frac{f(x)}{x} = \frac{x - n \ln(x)}{x} = 1 - n \frac{\ln(x)}{x}$. - Comme $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty$, alors $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = +\infty$ si $n > 0$. - Interprétation : la fonction croît très rapidement près de 0. 4. **Limite en $+\infty$ et branche infinie** : - Calculons $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x - n \ln(x))$. - Comme $x$ croît plus vite que $\ln(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - La branche infinie est donc $y \to +\infty$ quand $x \to +\infty$. 5. **Dérivée de $f$** : - $f'(x) = \frac{d}{dx} (x - n \ln(x)) = 1 - n \frac{1}{x} = 1 - \frac{n}{x}$. - On peut aussi écrire $f'(x) = -\ln(x)$ selon l'énoncé, mais cela semble être une erreur. La dérivée correcte est $f'(x) = 1 - \frac{n}{x}$. 6. **Tableau de variation** : - Étudions le signe de $f'(x) = 1 - \frac{n}{x}$. - Résolvons $f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{n}{x} = 0 \Rightarrow x = n$. - Pour $x < n$, si $n > 0$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Pour $x > n$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. - Le point critique est en $x = n$. 7. **Position de la courbe $(Cg)$ par rapport à la droite $\Delta : y = x$** : - Étudions le signe de $f(x) - x = x - n \ln(x) - x = - n \ln(x)$. - Si $x > 1$, $\ln(x) > 0$, donc $f(x) - x = - n \ln(x) < 0$ si $n > 0$, donc $f(x) < x$. - Si $0 < x < 1$, $\ln(x) < 0$, donc $f(x) - x = - n \ln(x) > 0$ si $n > 0$, donc $f(x) > x$. - La courbe $(Cg)$ est au-dessus de $\Delta$ pour $x \in (0,1)$ et en dessous pour $x > 1$. **Réponse finale** : - $f$ est continue en 0 si on définit $f(0) = 0$. - $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = +\infty$ pour $n > 0$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - $f'(x) = 1 - \frac{n}{x}$ avec un extremum en $x = n$. - La courbe $(Cg)$ est au-dessus de $y = x$ pour $x \in (0,1)$ et en dessous pour $x > 1$ (si $n > 0$).