1. Énoncé du problème : On sait que si $x_0$ est un extremum local de la fonction $f$, alors la dérivée $f'(x_0)$ est nulle. La question est de trouver la réciproque ou un contre-exemple. 2. Rappel de la propriété : Si $x_0$ est un extremum local, alors $f'(x_0) = 0$. La réciproque serait : si $f'(x_0) = 0$, alors $x_0$ est un extremum local. 3. Analyse de la réciproque : Cette réciproque n'est pas toujours vraie. Un point où la dérivée est nulle peut ne pas être un extremum local. 4. Contre-exemple classique : Considérons la fonction $f(x) = x^3$. Calculons la dérivée : $$f'(x) = 3x^2$$ En $x_0 = 0$, on a $f'(0) = 0$. 5. Vérification de l'extrémum en $x_0=0$ : La fonction $f(x) = x^3$ est strictement croissante avant et après 0. Donc $x_0=0$ n'est pas un extremum local. 6. Conclusion : La réciproque est fausse. Un point où la dérivée est nulle n'est pas forcément un extremum local. Réponse finale : La réciproque est fausse, un contre-exemple est $f(x) = x^3$ en $x_0=0$ où $f'(0)=0$ mais $0$ n'est pas un extremum local.