1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction affine par intervalles définie par : $$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x \in [-3, 2] \\ 9 - x & \text{si } x \in ]2, 5] \\ 4 & \text{si } x \in [5, +\infty[ \end{cases}$$ Nous devons : - Trouver l'ensemble de définition $D_f$. - Calculer $f(0)$, $f(6)$ et $f(3)$. - Étudier les variations de $f$ sur $D_f$. 2. **Trouver l'ensemble de définition $D_f$ :** L'ensemble de définition est l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini. Ici, $f$ est défini pour $x \in [-3, 2] \cup ]2, 5] \cup [5, +\infty[$. On remarque que $x=2$ est inclus dans le premier intervalle mais exclu du second, et $x=5$ est inclus dans le second et dans le troisième. Donc : $$D_f = [-3, +\infty[ $$ 3. **Calculer $f(0)$, $f(6)$ et $f(3)$ :** - Pour $x=0$, $0 \in [-3, 2]$, donc on utilise $f(x) = 2x + 3$ : $$f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3$$ - Pour $x=6$, $6 \in [5, +\infty[$, donc $f(x) = 4$ : $$f(6) = 4$$ - Pour $x=3$, $3 \in ]2, 5]$, donc $f(x) = 9 - x$ : $$f(3) = 9 - 3 = 6$$ 4. **Étudier les variations de $f$ sur $D_f$ :** - Sur $[-3, 2]$, $f(x) = 2x + 3$ est une fonction affine de pente positive $2$, donc strictement croissante. - Sur $]2, 5]$, $f(x) = 9 - x$ est une fonction affine de pente $-1$, donc strictement décroissante. - Sur $[5, +\infty[$, $f(x) = 4$ est constante. **Résumé des variations :** - Croissante sur $[-3, 2]$ - Décroissante sur $]2, 5]$ - Constante sur $[5, +\infty[$ **Réponse finale :** - $D_f = [-3, +\infty[$ - $f(0) = 3$, $f(6) = 4$, $f(3) = 6$ - $f$ est croissante sur $[-3, 2]$, décroissante sur $]2, 5]$, constante sur $[5, +\infty[$.