1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{x+3}{x-1}$$ 1°) a) Vérifier que $$f(x) = 1 + \frac{4}{x-1}$$ b) Montrer que $f$ est décroissante sur son domaine de définition. 2°) Montrer que $f$ est bornée sur $[2;10]$. --- 2. **Formule et règles importantes :** - Pour la partie a), on utilise la décomposition en fraction simple. - Pour la partie b), on étudie la dérivée $f'(x)$ pour déterminer la monotonie. - Pour la partie 2°, on utilise la continuité et le calcul des bornes sur un intervalle fermé. --- 3. **Résolution détaillée :** **1°) a) Vérification de l'expression :** $$f(x) = \frac{x+3}{x-1} = \frac{(x-1)+4}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{4}{x-1} = 1 + \frac{4}{x-1}$$ **1°) b) Montrer que $f$ est décroissante sur son domaine :** - Domaine de définition : $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ - Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{(x-1)\times 1 - (x+3)\times 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x - 3}{(x-1)^2} = \frac{-4}{(x-1)^2}$$ - Comme $(x-1)^2 > 0$ pour tout $x \neq 1$, on a $f'(x) = \frac{-4}{(x-1)^2} < 0$. - Donc $f$ est strictement décroissante sur chaque intervalle de son domaine. **2°) Montrer que $f$ est bornée sur $[2;10]$ :** - $f$ est continue sur $[2;10]$ car $1 \notin [2;10]$. - Comme $f$ est décroissante, $f$ atteint son maximum en $x=2$ et son minimum en $x=10$. - Calcul des bornes : $$f(2) = \frac{2+3}{2-1} = \frac{5}{1} = 5$$ $$f(10) = \frac{10+3}{10-1} = \frac{13}{9} \approx 1.444$$ - Donc $f$ est bornée sur $[2;10]$ par $[1.444;5]$. --- **Réponse finale :** $$f(x) = 1 + \frac{4}{x-1}$$ $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. $f$ est bornée sur $[2;10]$ avec $1.444 \leq f(x) \leq 5$.