1. **Définition de la fonction** : $f(x) = \frac{1}{x} \sqrt{x - \frac{1}{x}}$. 2. **Ensemble de définition** : - L'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $$x - \frac{1}{x} \geq 0 \implies x^2 - 1 \geq 0 \implies x \leq -1 \text{ ou } x \geq 1.$$ - De plus, $x \neq 0$ car $\frac{1}{x}$ est défini. - Donc l'ensemble de définition est $D_f = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. 3. **Limites aux bornes de $D_f$** : - Limite en $-1$ : $$f(-1) = \frac{1}{-1} \sqrt{-1 - (-1)} = -1 \times 0 = 0.$$ - Limite en $1$ : $$f(1) = \frac{1}{1} \sqrt{1 - 1} = 0.$$ - Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \sqrt{x - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \sqrt{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0.$$ - Limite en $-\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \sqrt{x - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \sqrt{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = 0 \text{ (en considérant la partie réelle positive de la racine).}$$ 4. **Limite de $\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$ quand $x \to 1^+$** : - $f(1) = 0$. - Calcul de la limite : $$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1}{x} \sqrt{x - \frac{1}{x}}}{x - 1}.$$ - Posons $h = x - 1$, alors $x = 1 + h$, $h \to 0^+$. - Approximons $f(1+h)$ : $$f(1+h) = \frac{1}{1+h} \sqrt{1 + h - \frac{1}{1+h}} = \frac{1}{1+h} \sqrt{1 + h - (1 - h + h^2 + \cdots)} = \frac{1}{1+h} \sqrt{h + h - h^2 + \cdots} = \frac{1}{1+h} \sqrt{2h + o(h)}.$$ - Donc $$f(1+h) \sim \frac{1}{1} \sqrt{2h} = \sqrt{2h}.$$ - Ainsi $$\frac{f(1+h)}{h} \sim \frac{\sqrt{2h}}{h} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{h}}{h} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{h}} \to +\infty.$$ - La limite est donc infinie, la dérivée en 1 n'existe pas. 5. **Dérivabilité de $f$** : - $f$ est dérivable sur $D_f \setminus \{1\}$. - En $x=1$, la limite du taux d'accroissement est infinie, donc $f$ n'est pas dérivable en 1. 6. **Calcul de la dérivée $f'$** : - Posons $u(x) = \frac{1}{x}$ et $v(x) = \sqrt{x - \frac{1}{x}}$. - $u'(x) = -\frac{1}{x^2}$. - $v(x) = (x - \frac{1}{x})^{1/2}$, donc $$v'(x) = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{x})^{-1/2} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x - \frac{1}{x}}} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right).$$ - Par produit, $$f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = -\frac{1}{x^2} \sqrt{x - \frac{1}{x}} + \frac{1}{x} \times \frac{1}{2 \sqrt{x - \frac{1}{x}}} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right).$$ 7. **Étude du signe de $f'$** : - Le signe dépend de l'expression ci-dessus sur $D_f$. - Analyse détaillée possible par simplification et étude des termes. 8. **Tableau de variation** : - Utiliser le signe de $f'$ pour déterminer les intervalles de croissance et décroissance. - $f$ est continue sur $D_f$ sauf en $x=0$ qui n'appartient pas à $D_f$. 9. **Représentation graphique de $(C_f)$** : - Tracer la courbe dans un repère orthonormé en respectant les variations et limites. 10. **Fonction $g(x) = f(|x|)$** : - $g$ est définie sur $\mathbb{R}$. - Pour $x \geq 0$, $g(x) = f(x)$. - Pour $x < 0$, $g(x) = f(-x)$. - Représenter $(C_g)$ dans un autre repère en utilisant la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. **Réponse finale** : - $D_f = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. - Limites : $f(-1) = 0$, $f(1) = 0$, $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$. - $f$ n'est pas dérivable en $x=1$. - Dérivée : $$f'(x) = -\frac{1}{x^2} \sqrt{x - \frac{1}{x}} + \frac{1}{x} \times \frac{1}{2 \sqrt{x - \frac{1}{x}}} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right).$$ - Étude du signe de $f'$ permet de dresser le tableau de variation. - Courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ tracées selon les définitions.