1. **Énoncé du problème :** Déterminer le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases}-1 + \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$ 2. **Détermination du domaine $D_f$ :** La fonction $f$ est définie pour tout $x \neq 0$ car $\frac{\sin x}{x}$ est défini pour $x \neq 0$. À $x=0$, $f(0)$ est défini explicitement comme $0$. Donc, $D_f = \mathbb{R}$. 3. **Continuité et dérivabilité de $f$ sur $D_f$ :** - Pour $x \neq 0$, $f(x) = -1 + \frac{\sin x}{x}$ est composée de fonctions continues et dérivables. - Pour $x=0$, on doit vérifier la continuité et la dérivabilité par limite. 4. **Continuité en $0$ :** Calculons $\lim_{x \to 0} f(x)$ : $$\lim_{x \to 0} \left(-1 + \frac{\sin x}{x}\right) = -1 + \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = -1 + 1 = 0$$ Or $f(0) = 0$, donc $f$ est continue en $0$. 5. **Dérivée de $f$ pour $x \neq 0$ :** Utilisons la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{\sin x}{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{x}\right)$$ $$= \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$ 6. **Dérivabilité en $0$ :** Calculons $f'(0)$ par définition : $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1 + \frac{\sin h}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1 + \frac{\sin h}{h}}{h}$$ Développons $\sin h$ en série de Taylor : $$\sin h = h - \frac{h^3}{6} + o(h^3)$$ Donc $$\frac{\sin h}{h} = 1 - \frac{h^2}{6} + o(h^2)$$ Ainsi $$-1 + \frac{\sin h}{h} = -1 + 1 - \frac{h^2}{6} + o(h^2) = -\frac{h^2}{6} + o(h^2)$$ Donc $$\frac{-1 + \frac{\sin h}{h}}{h} = \frac{-\frac{h^2}{6} + o(h^2)}{h} = -\frac{h}{6} + o(h) \to 0$$ Donc $f'(0) = 0$. 7. **Continuité de $f'$ en $0$ :** Calculons $\lim_{x \to 0} f'(x)$ : $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$ Développons $\cos x$ et $\sin x$ : $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ Donc $$x \cos x - \sin x = x \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3) - x + \frac{x^3}{6} + o(x^3) = -\frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ Ainsi $$\frac{x \cos x - \sin x}{x^2} = \frac{-\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^2} = -\frac{x}{3} + o(x) \to 0$$ Donc $f'$ est continue en $0$. 8. **Classe $C^1$ de $f$ sur $D_f$ :** $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est de classe $C^1$ sur $D_f = \mathbb{R}$. **Réponse finale :** - $D_f = \mathbb{R}$ - $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ - $$f'(x) = \begin{cases} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$ - $f'$ est continue en $0$ - $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.