1. **Énoncé du problème :** Nous avons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1}.$$ Nous devons dresser le tableau de variations de $f$, déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0, vérifier une relation entre $x - f(x)$ et une fonction $g$, étudier le signe de $x - f(x)$, en déduire les positions relatives de $C_f$ et $T$, étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, et enfin étudier la parité, limites et asymptote oblique de $f$. --- 2. **Dresser le tableau de variations de $f$ :** - Calcul de la dérivée $f'(x)$ : $$f(x) = \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1}.$$ Posons $u = x(e^{2x} - 1)$ et $v = e^{2x} + 1$. $$u' = (e^{2x} - 1) + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x} - 1 + 2xe^{2x},$$ $$v' = 2e^{2x}.$$ Par la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(e^{2x} - 1 + 2xe^{2x})(e^{2x} + 1) - x(e^{2x} - 1)2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}.$$ Simplifions le numérateur : $$N = (e^{2x} - 1)(e^{2x} + 1) + 2xe^{2x}(e^{2x} + 1) - 2xe^{2x}(e^{2x} - 1).$$ Or, $$(e^{2x} - 1)(e^{2x} + 1) = e^{4x} - 1,$$ et $$2xe^{2x}(e^{2x} + 1) - 2xe^{2x}(e^{2x} - 1) = 2xe^{2x} \cancel{e^{2x}} + 2xe^{2x} - 2xe^{2x} \cancel{e^{2x}} + 2xe^{2x} = 4xe^{2x}.$$ Donc, $$N = e^{4x} - 1 + 4xe^{2x}.$$ Ainsi, $$f'(x) = \frac{e^{4x} - 1 + 4xe^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}.$$ - Étude du signe de $f'(x)$ : Le dénominateur est toujours positif. Étudions le numérateur : $$h(x) = e^{4x} - 1 + 4xe^{2x}.$$ Posons $t = e^{2x} > 0$, alors $$h(x) = t^2 - 1 + 4x t.$$ On peut analyser $h(x)$ pour déterminer les variations de $f$. - Valeur en 0 : $$f(0) = \frac{0 \cdot (1 - 1)}{1 + 1} = 0.$$ - Limites : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ Le tableau de variations montre que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. --- 3. **Équation de la tangente $T$ en $x=0$ :** - Calcul de $f'(0)$ : $$f'(0) = \frac{e^{0} - 1 + 0}{(e^{0} + 1)^2} = \frac{1 - 1 + 0}{(1 + 1)^2} = 0.$$ - L'équation de la tangente est donc : $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0.$$ Donc, $T$ est la droite $y=0$. --- 4. **Vérification de la relation $x - f(x) = \frac{x g(x)}{g(x) + 1}$ :** On pose $$g(x) = e^{-2x}.$$ Calculons : $$x - f(x) = x - \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1} = \frac{x(e^{2x} + 1) - x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1} = \frac{x(2)}{e^{2x} + 1} = \frac{2x}{e^{2x} + 1}.$$ Or, $$\frac{x g(x)}{g(x) + 1} = \frac{x e^{-2x}}{e^{-2x} + 1} = \frac{x e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}.$$ Multiplions numérateur et dénominateur par $e^{2x}$ : $$\frac{x e^{-2x} \cdot e^{2x}}{(1 + e^{-2x}) e^{2x}} = \frac{x}{e^{2x} + 1}.$$ Donc, $$x - f(x) = 2 \times \frac{x}{e^{2x} + 1} \neq \frac{x g(x)}{g(x) + 1}.$$ Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou dans la définition de $g(x)$. --- 5. **Étude du signe de $x - f(x)$ :** On a $$x - f(x) = \frac{2x}{e^{2x} + 1}.$$ Le dénominateur est toujours positif, donc le signe de $x - f(x)$ est celui de $x$. - Pour $x > 0$, $x - f(x) > 0$. - Pour $x = 0$, $x - f(x) = 0$. - Pour $x < 0$, $x - f(x) < 0$. --- 6. **Positions relatives de $C_f$ et $T$ :** La tangente $T$ est $y=0$. - Pour $x > 0$, $x - f(x) > 0 \Rightarrow f(x) < x$ donc $f(x) < 0$ ? Non, car $f(x)$ est croissante et $f(0)=0$. En fait, on compare $f(x)$ et $0$ : - Pour $x > 0$, $f(x) > 0$ donc $f(x) > T(x)$. - Pour $x < 0$, $f(x) < 0$ donc $f(x) < T(x)$. Donc, la courbe est en dessous de la tangente à gauche de 0 et au-dessus à droite. --- 7. **Suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, $u_{n+1} = f(u_n)$ :** ① Montrons par récurrence que $0 \leq u_n \leq 1$. - Initialisation : $u_0 = 1$ donc $0 \leq u_0 \leq 1$. - Hypothèse : supposons $0 \leq u_n \leq 1$. - Montrons $0 \leq u_{n+1} = f(u_n) \leq 1$. Comme $f$ est croissante et $f(0) = 0$, $f(1)$ est calculable : $$f(1) = \frac{1(e^{2} - 1)}{e^{2} + 1} = \frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1} < 1.$$ Donc $f$ en $[0,1]$ est dans $[0,1]$. ② Montrons que $(u_n)$ est décroissante. On a $u_1 = f(u_0) = f(1) < 1 = u_0$. Supposons $u_n \leq u_{n-1}$. Comme $f$ est croissante, $$u_{n+1} = f(u_n) \leq f(u_{n-1}) = u_n,$$ donc $(u_n)$ est décroissante. ③ $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0, donc convergente. Soit $l = \lim_{n \to \infty} u_n$, alors $$l = \lim u_{n+1} = \lim f(u_n) = f(l).$$ Résolvons $l = f(l)$ : $$l = \frac{l(e^{2l} - 1)}{e^{2l} + 1}.$$ Si $l \neq 0$, on peut simplifier : $$1 = \frac{e^{2l} - 1}{e^{2l} + 1} = \frac{e^{2l} - 1}{e^{2l} + 1}.$$ Cela donne $$e^{2l} + 1 = e^{2l} - 1 \Rightarrow 1 = -1,$$ impossible. Donc $l=0$. --- 8. **Vérification que $f(x) = \frac{x(1 - e^{-2x})}{1 + e^{-2x}}$ :** On a $$f(x) = \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1} = \frac{x \left( \frac{1}{e^{-2x}} - 1 \right)}{\frac{1}{e^{-2x}} + 1} = \frac{x \frac{1 - e^{-2x}}{e^{-2x}}}{\frac{1 + e^{-2x}}{e^{-2x}}} = \frac{x(1 - e^{-2x})}{1 + e^{-2x}}.$$ --- 9. **Parité de $f$ :** Calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = \frac{-x(1 - e^{2x})}{1 + e^{2x}} = - \frac{x(1 - e^{2x})}{1 + e^{2x}}.$$ Or, $$f(x) = \frac{x(1 - e^{-2x})}{1 + e^{-2x}}.$$ On remarque que $$f(-x) = -f(x),$$ donc $f$ est une fonction impaire. Graphiquement, la courbe est symétrique par rapport à l'origine. --- 10. **Limite en $+\infty$ :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1} = \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \lim_{x \to +\infty} x \cdot 1 = +\infty.$$ --- 11. **Asymptote oblique $y = x$ en $+\infty$ :** Calculons $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1} - x = \lim_{x \to +\infty} x \left( \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} - 1 \right).$$ Simplifions l'expression entre parenthèses : $$\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} - 1 = \frac{e^{2x} - 1 - (e^{2x} + 1)}{e^{2x} + 1} = \frac{-2}{e^{2x} + 1}.$$ Donc, $$f(x) - x = x \cdot \frac{-2}{e^{2x} + 1} = \frac{-2x}{e^{2x} + 1}.$$ Quand $x \to +\infty$, $e^{2x}$ croît plus vite que $x$, donc $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 0.$$ Donc $y = x$ est une asymptote oblique en $+\infty$. --- 12. **Résumé des résultats :** - $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - La tangente en 0 est $y=0$. - $f$ est impaire. - La suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, $u_{n+1} = f(u_n)$ est décroissante, comprise entre 0 et 1, et converge vers 0. - La droite $y=x$ est asymptote oblique en $+\infty$. --- **Fin de la résolution.**