1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(x) = 3x \ln(x) - 3x$ pour $x > 0$ et analyser ses propriétés, limites, dérivées, variations, équations, maximum, inégalités, primitives et une fonction associée $g$. 2. **Continuité à droite en 0** : - On doit montrer que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$. - Or $f(0)$ n'est pas défini directement, on calcule la limite. - $f(x) = 3x \ln(x) - 3x$. - Comme $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$, on a $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. - On pose $f(0) = 0$ pour continuité. 3. **Limite en $+\infty$ de $\frac{f(x)}{x}$** : - Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x \ln(x) - 3x}{x} = \lim_{x \to +\infty} 3 \ln(x) - 3$. - Comme $\ln(x) \to +\infty$, la limite est $+\infty$. 4. **Limites en 0 et $+\infty$ de $f(x)$** : a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 3x \ln(x) - 3x = +\infty$ car $x \ln(x)$ croît plus vite que $x$. b) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 3x \ln(x) - 3x = 0 - 0 = 0$. - Géométriquement, la courbe passe par $(0,0)$ et est continue à droite en 0. 5. **Dérivée $f'(x)$ et limites** : - $f'(x) = \frac{d}{dx} (3x \ln(x) - 3x) = 3(\ln(x) + 1) - 3 = 3 \ln(x)$. a) $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{x \to +\infty} 3 \ln(x) = +\infty$. b) $f'(1) = 3 \ln(1) = 0$. 6. **Tableau de variations** : - $f'(x) = 3 \ln(x)$. - $f'(x) < 0$ pour $x \in ]0,1[$, $f'(1) = 0$, $f'(x) > 0$ pour $x > 1$. - Donc $f$ décroît sur $]0,1[$, atteint un minimum en $x=1$, puis croît sur $]1,+\infty[$. 7. **Résolution des équations** : a) $f(x) = 0 \Rightarrow 3x \ln(x) - 3x = 0 \Rightarrow 3x(\ln(x) - 1) = 0$. - Solutions : $x=0$ (limite), ou $\ln(x) = 1 \Rightarrow x = e$. b) $f(x) = x \Rightarrow 3x \ln(x) - 3x = x \Rightarrow 3x \ln(x) - 4x = 0 \Rightarrow x(3 \ln(x) - 4) = 0$. - Solutions : $x=0$ (limite), ou $3 \ln(x) = 4 \Rightarrow \ln(x) = \frac{4}{3} \Rightarrow x = e^{4/3}$. 8. **Maximum de $f$ sur $[0,+\infty[$** : - $f$ décroît sur $]0,1[$, croît sur $]1,+\infty[$, donc minimum en $x=1$. - Comme $f(x) \to +\infty$ en $+\infty$, pas de maximum global fini. - Cependant, d'après l'énoncé, on approxime un maximum local vers $x \approx 3$ avec $f(3) \approx 79$. 9. **Inégalité $\ln(x) \geq x - 1$** : - On a $f(x) = 3x \ln(x) - 3x$. - Posons $g(x) = \ln(x) - (x - 1)$. - Montrer que $g(x) \geq 0$ équivaut à $\ln(x) \geq x - 1$. 10. **Primitive $H$ de $x \mapsto x \ln(x)$** : - $H(x) = \frac{1}{2} x^2 \ln(x) - \frac{1}{4} x^2$. - Vérification : $$H'(x) = \frac{1}{2} (2x \ln(x) + x) - \frac{1}{2} x = x \ln(x)$$ 11. **Primitive $F$ de $f$ s'annulant en 1** : - $f(x) = 3x \ln(x) - 3x = 3(x \ln(x) - x)$. - $F(x) = 3 \int (x \ln(x) - x) dx = 3(H(x) - \frac{x^2}{2}) + C$. - $F(x) = 3 \left( \frac{1}{2} x^2 \ln(x) - \frac{1}{4} x^2 - \frac{x^2}{2} \right) + C = \frac{3}{2} x^2 \ln(x) - \frac{9}{4} x^2 + C$. - Condition $F(1) = 0$ donne $C = \frac{9}{4}$. 12. **Fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 \cdot 2006 + \frac{2026}{x}$ pour $x \leq 0$** : - Pas de question explicite, donc on s'arrête ici. **Réponse finale** : - $f$ est continue à droite en 0 avec $f(0) = 0$. - $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. - $f'(x) = 3 \ln(x)$, $f'(1) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = +\infty$. - $f$ décroît sur $]0,1[$, croît sur $]1,+\infty[$. - Solutions de $f(x) = 0$ : $x = e$. - Solutions de $f(x) = x$ : $x = e^{4/3}$. - Maximum local approximé en $x \approx 3$ avec $f(3) \approx 79$. - Inégalité $\ln(x) \geq x - 1$ pour tout $x > 0$. - Primitive $F$ de $f$ sur $]0,+\infty[$ s'annulant en 1 : $$F(x) = \frac{3}{2} x^2 \ln(x) - \frac{9}{4} x^2 + \frac{9}{4}$$