1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$f(x) = x^2 - 4x - 4 \ln x.$$ 2. **Étude des limites :** - Limite en 0 : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 4x - 4 \ln x).$$ Le terme $x^2$ tend vers 0, $-4x$ tend vers 0, mais $-4 \ln x$ tend vers $+\infty$ car $\ln x \to -\infty$. Donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty.$$ - Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 4x - 4 \ln x).$$ Le terme dominant est $x^2$ qui tend vers $+\infty$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 3. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(4 \ln x) = 2x - 4 - \frac{4}{x}.$$ 4. **Étude du signe de $f'(x)$ :** Posons $$f'(x) = 2x - 4 - \frac{4}{x} = \frac{2x^2 - 4x - 4}{x}.$$ On étudie le numérateur $$2x^2 - 4x - 4 = 0.$$ Divisons par 2 : $$x^2 - 2x - 2 = 0.$$ Discriminant : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12.$$ Racines : $$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.$$ Seule la racine positive dans $]0; +\infty[$ est $$x_0 = 1 + \sqrt{3}.$$ 5. **Tableau de variation :** - Pour $x \in ]0; x_0[$, le numérateur est négatif donc $f'(x) < 0$. - Pour $x > x_0$, $f'(x) > 0$. Donc $f$ décroît sur $]0; x_0[$ et croît sur $]x_0; +\infty[$. 6. **Nombre de solutions de $f(x) = 0$ :** - Comme $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et $f$ décroît sur $]0; x_0[$, $f$ atteint un minimum en $x_0$. - Calculons $f(x_0)$ : $$f(x_0) = (1 + \sqrt{3})^2 - 4(1 + \sqrt{3}) - 4 \ln(1 + \sqrt{3}).$$ - Si $f(x_0) < 0$, alors $f$ coupe l'axe des abscisses deux fois. - Si $f(x_0) = 0$, une solution unique. - Si $f(x_0) > 0$, aucune solution. 7. **Encadrement des solutions à $10^{-3}$ près :** Utiliser une calculatrice pour approximer les racines de $f(x) = 0$ sur $]0; +\infty[$. **Réponse finale :** - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - $f'(x) = 2x - 4 - \frac{4}{x}$. - $f$ décroît sur $]0; 1 + \sqrt{3}[$ et croît sur $]1 + \sqrt{3}; +\infty[$. - Le nombre de solutions de $f(x) = 0$ dépend du signe de $f(1 + \sqrt{3})$. - Un encadrement numérique des solutions est nécessaire pour la précision $10^{-3}$.