1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$. 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction contient $\sqrt{x}$, donc $x \geq 0$. Ainsi, $D_f = [0, +\infty[$. 3. **Calcul des limites :** - Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $$f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 = x(x - 4\sqrt{x} + 4) = x^2 - 4x^{3/2} + 4x.$$ Le terme dominant est $x^2$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ - Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ : $$\frac{f(x)}{x} = (\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4.$$ Le terme dominant est $x$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty.$$ 4. **Interprétation graphique :** La fonction $f$ croît très rapidement, plus vite que la droite $y = x$, car $f(x)/x \to +\infty$. 5. **Dérivabilité à droite en 0 :** - Calcul de $f(0) = 0 \times (0 - 2)^2 = 0$. - Dérivée à droite en 0 : $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(\sqrt{h} - 2)^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\sqrt{h} - 2)^2 = 4.$$ Donc $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'(0^+) = 4$. 6. **Interprétation graphique :** La tangente à la courbe en 0 a pour pente 4, ce qui signifie que la courbe monte rapidement dès 0. 7. **Dérivée $f'(x)$ :** - Posons $g(x) = \sqrt{x} - 2$, alors $f(x) = x g(x)^2$. - En utilisant la dérivation produit et chaîne : $$f'(x) = g(x)^2 + x \times 2 g(x) \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = (\sqrt{x} - 2)^2 + x \times 2 (\sqrt{x} - 2) \times \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$ Simplifions : $$f'(x) = (\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{x} - 2) \sqrt{x} = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x}) = (\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} - 2).$$ Factorisons : $$f'(x) = 2(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 1).$$ 8. **Tableau de variations :** - Zéros de $f'(x)$ : $\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x=4$ et $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x=1$. - Pour $x \in [0,1)$, $f'(x) > 0$ (car $\sqrt{x} - 2 < 0$ et $\sqrt{x} - 1 < 0$, produit positif). - Pour $x \in (1,4)$, $f'(x) < 0$ (car $\sqrt{x} - 2 < 0$ et $\sqrt{x} - 1 > 0$, produit négatif). - Pour $x > 4$, $f'(x) > 0$. Donc $f$ est croissante sur $[0,1]$, décroissante sur $[1,4]$, puis croissante sur $[4,+\infty[$. 9. **Point d'inflexion $A(\frac{9}{4}, \frac{9}{16})$ :** - Calcul de $f''(x)$ et vérification que $f''(\frac{9}{4})=0$ et changement de signe. - $f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} \left[2(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 1)\right]$. - En dérivant et simplifiant, on trouve que $f''(\frac{9}{4})=0$ et que $f''$ change de signe en ce point, donc $A$ est un point d'inflexion. 10. **Expression de $f(x) - x$ :** $$f(x) - x = x(\sqrt{x} - 2)^2 - x = x[(\sqrt{x} - 2)^2 - 1] = x(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^{-1}(\sqrt{x} + 3)^{-1}$$ Simplifié, on obtient : $$f(x) - x = \frac{x(x - 1)(x - 9)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3)}.$$ 11. **Positions relatives de $(C_f)$ et la droite $D : y = x$ :** - Le signe de $f(x) - x$ dépend de $x(x-1)(x-9)$. - Pour $x \in ]0,1[$, $f(x) - x < 0$ donc $(C_f)$ est sous $D$. - Pour $x \in ]1,9[$, $f(x) - x > 0$ donc $(C_f)$ est au-dessus de $D$. - Pour $x > 9$, $f(x) - x > 0$. 12. **Conclusion :** La fonction $f$ est définie sur $[0,+\infty[$, dérivable à droite en 0 avec pente 4, possède un point d'inflexion en $A(\frac{9}{4}, \frac{9}{16})$, et sa courbe est alternativement au-dessus et en dessous de la droite $y=x$ selon les intervalles. **Réponse finale :** $$D_f = [0, +\infty[,$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty,$$ $$f'(x) = 2(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 1),$$ $$f(x) - x = \frac{x(x - 1)(x - 9)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3)}.$$