1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = x + \ln(x) - \frac{2}{\ln(x)}$$ et sa courbe représentative $(C_f)$. 2. **Domaine de définition :** La fonction $\ln(x)$ est définie pour $x>0$ et $\ln(x) \neq 0$ car on divise par $\ln(x)$. Or $\ln(x)=0$ pour $x=1$. Donc le domaine est $$D = ]0;1[ \cup ]1; +\infty[.$$ 3. **Limites en $x \to 1$ :** - Pour $x \to 1^-$, $\ln(x) \to 0^-$, donc $-\frac{2}{\ln(x)} \to +\infty$ et $f(x) \to +\infty$. - Pour $x \to 1^+$, $\ln(x) \to 0^+$, donc $-\frac{2}{\ln(x)} \to -\infty$ et $f(x) \to -\infty$. Graphiquement, $(C_f)$ a une asymptote verticale en $x=1$ avec un comportement divergent opposé de part et d'autre. 4. **Limite en $x \to 0^+$ :** $\ln(x) \to -\infty$, donc $x + \ln(x) \to -\infty$ et $-\frac{2}{\ln(x)} \to 0^-$. Ainsi, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty.$$ Graphiquement, la courbe plonge vers $-\infty$ près de 0. 5. **Limite en $x \to +\infty$ :** $\ln(x) \to +\infty$, donc $-\frac{2}{\ln(x)} \to 0$ et $f(x) \sim x + \ln(x)$. Donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 6. **Branche parabolique au voisinage de $+\infty$ :** On cherche une droite $y=x$ telle que $$f(x) - x = \ln(x) - \frac{2}{\ln(x)}.$$ Pour $x \to +\infty$, $\ln(x) \to +\infty$ et $-\frac{2}{\ln(x)} \to 0$, donc $$f(x) - x \sim \ln(x).$$ La croissance de $\ln(x)$ est lente mais non négligeable, ce qui montre que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $y=x$. 7. **Position relative de $(C_f)$ et $(\Delta)$ :** La différence $f(x)-x = \ln(x) - \frac{2}{\ln(x)}$ est positive pour $x$ grand (car $\ln(x)$ domine), donc $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ pour $x$ grand. 8. **Dérivée de $f$ :** Calculons $f'(x)$ : $$f'(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{\ln(x)} \right).$$ Or, $$\frac{d}{dx} \left( \frac{2}{\ln(x)} \right) = -2 \cdot \frac{1}{\ln^2(x)} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2}{x \ln^2(x)}.$$ Donc, $$f'(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x \ln^2(x)} = \frac{x \ln^2(x) + \ln^2(x) + 2}{x \ln^2(x)}.$$ 9. **Tableau de variations :** Le signe de $f'(x)$ dépend du numérateur $x \ln^2(x) + \ln^2(x) + 2$ qui est toujours positif (car $\ln^2(x) \geq 0$ et $2>0$), donc $f'(x) > 0$ sur $D$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $]0;1[$ et $]1; +\infty[$. 10. **Résumé :** - Domaine : $]0;1[ \cup ]1; +\infty[$. - Asymptote verticale en $x=1$ avec $f(x) \to +\infty$ à gauche et $f(x) \to -\infty$ à droite. - $f(x) \to -\infty$ en $0^+$. - $f(x) \to +\infty$ en $+\infty$. - Branche parabolique de direction $y=x$ en $+\infty$. - $f$ est strictement croissante sur son domaine. **Réponse finale :** $$D = ]0;1[ \cup ]1; +\infty[,$$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty,$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,$$ $$f'(x) = \frac{x \ln^2(x) + \ln^2(x) + 2}{x \ln^2(x)} > 0,$$ $f$ est strictement croissante sur $D$ et $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $y=x$ au voisinage de $+\infty$.