1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^{-x} + 2x - 1$. 2. **Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ :** - Quand $x \to -\infty$, $e^{-x} = e^{|x|} \to +\infty$ et $x \to -\infty$, donc $xe^{-x} = x e^{|x|}$. Comme $e^{|x|}$ croît plus vite que $|x|$, $xe^{-x} \to -\infty$. - Le terme $2x - 1 \to -\infty$ aussi. Donc $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.$$ - Quand $x \to +\infty$, $e^{-x} \to 0$, donc $xe^{-x} \to 0$ car $x$ croît mais $e^{-x}$ décroît exponentiellement. - Le terme $2x - 1 \to +\infty$. Donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 3. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** On utilise la règle du produit pour $xe^{-x}$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(1) = e^{-x} + x(-e^{-x}) + 2 - 0 = e^{-x} - x e^{-x} + 2 = (1 - x)e^{-x} + 2.$$ 4. **Montrer que $f''(x) = (x - 2)e^{-x}$ :** Dérivons $f'(x)$ : $$f''(x) = \frac{d}{dx}[(1 - x)e^{-x} + 2] = \frac{d}{dx}[(1 - x)e^{-x}] + 0.$$ Utilisons la règle du produit : $$\frac{d}{dx}[(1 - x)e^{-x}] = (-(1))e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (-1 - 1 + x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}.$$ Donc $$f''(x) = (x - 2)e^{-x}.$$ 5. **Étudier la convexité de $f$ :** La convexité dépend du signe de $f''(x)$. - $e^{-x} > 0$ pour tout $x$. - Donc le signe de $f''(x)$ est celui de $(x - 2)$. Ainsi : - $f''(x) < 0$ pour $x < 2$ (fonction concave). - $f''(x) > 0$ pour $x > 2$ (fonction convexe). 6. **Étudier les variations de $f'$ :** On a $f''(x) = (x - 2)e^{-x}$. - $f''(x) = 0$ pour $x = 2$. - Pour $x < 2$, $f''(x) < 0$ donc $f'$ décroît. - Pour $x > 2$, $f''(x) > 0$ donc $f'$ croît. Calculons $f'(2)$ : $$f'(2) = (1 - 2)e^{-2} + 2 = (-1)e^{-2} + 2 = 2 - e^{-2}.$$ 7. **Signe de $f'$ et croissance de $f$ :** - $f'(2) = 2 - e^{-2} > 0$ car $e^{-2} \approx 0.135$. - Comme $f'$ décroît sur $(-\infty, 2)$ et croît sur $(2, +\infty)$ avec un minimum en $x=2$ strictement positif, $f'(x) > 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 8. **Existence et encadrement de $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ :** - $f$ est continue et strictement croissante, avec $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. Calculons $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$ et $f(1) = 1 \times e^{-1} + 2 - 1 = e^{-1} + 1 \approx 0.368 + 1 = 1.368 > 0$. Donc $\alpha \in (0,1)$. Affinons : - $f(0.5) = 0.5 e^{-0.5} + 1 - 1 = 0.5 e^{-0.5} \approx 0.5 \times 0.6065 = 0.303 > 0$. Donc $\alpha \in (0,0.5)$. - $f(0.25) = 0.25 e^{-0.25} + 0.5 - 1 = 0.25 \times 0.7788 - 0.5 = 0.1947 - 0.5 = -0.3053 < 0$. Donc $\alpha \in (0.25, 0.5)$. - $f(0.4) = 0.4 e^{-0.4} + 0.8 - 1 = 0.4 \times 0.6703 - 0.2 = 0.2681 - 0.2 = 0.0681 > 0$. Donc $\alpha \in (0.25, 0.4)$. - $f(0.3) = 0.3 e^{-0.3} + 0.6 - 1 = 0.3 \times 0.7408 - 0.4 = 0.2222 - 0.4 = -0.1778 < 0$. Donc $\alpha \in (0.3, 0.4)$. - $f(0.35) = 0.35 e^{-0.35} + 0.7 - 1 = 0.35 \times 0.7047 - 0.3 = 0.2466 - 0.3 = -0.0534 < 0$. - $f(0.375) = 0.375 e^{-0.375} + 0.75 - 1 = 0.375 \times 0.6873 - 0.25 = 0.2577 - 0.25 = 0.0077 > 0$. Donc $\alpha \in (0.35, 0.375)$. Au centième près, $\alpha \approx 0.36$. 9. **Position relative de $C_f$ par rapport à la droite $\Delta : y = 2x - 1$ :** Calculons $f(x) - (2x - 1) = xe^{-x} + 2x - 1 - 2x + 1 = xe^{-x}$. - Pour $x > 0$, $xe^{-x} > 0$ donc $f(x) > 2x - 1$ (courbe au-dessus de la droite). - Pour $x < 0$, $x < 0$ et $e^{-x} > 0$, donc $xe^{-x} < 0$ donc $f(x) < 2x - 1$ (courbe en dessous de la droite). - En $x=0$, $f(0) = -1$ et $2 \times 0 - 1 = -1$, la courbe touche la droite. **Conclusion :** La courbe $C_f$ est en dessous de la droite $\Delta$ pour $x < 0$, la touche en $0$, et est au-dessus pour $x > 0$.