1. **Étudier les variations de la fonction** $g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$. Calculons la dérivée $g'(x)$ pour étudier les variations : $$g'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{2} + \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}\right).$$ Utilisons la règle du quotient ou produit : $$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x \cdot x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}} > 0.$$ Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 2. **Montrer que pour tout réel $x$, $g(x) \in ]-1;0[$**. Calculons les limites : $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\frac{1}{2} + \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}} = -\frac{1}{2} + \frac{-\infty}{2 \cdot \infty} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1,$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.$$ Comme $g$ est strictement croissante et continue, $g(x) \in ]-1;0[$ pour tout $x$. 3. **Étudier la fonction $f(x) = -\frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1}$**. (a) Dresser le tableau de variation : Calculons $f'(x)$ : $$f'(x) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 1\right).$$ Le signe de $f'(x)$ dépend de $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 1$. Pour tout $x$, $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} < 1$, donc $f'(x) < 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (b) **Asymptote oblique en $-\infty$** : Calculons $$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + \frac{1}{x}\right).$$ On a $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x} = -1$ quand $x \to -\infty$. Donc $$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (-1) + 0 = -1.$$ L'asymptote oblique a donc pour pente $-1$. Calculons l'ordonnée à l'origine de l'asymptote : $$b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - (-1) x) = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1} + x\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1}\right).$$ Comme $\sqrt{x^2+1} \sim -x$ pour $x \to -\infty$, on a $$b = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{2} + 1 - \frac{x}{2}\right) = 1.$$ Donc l'asymptote oblique est $y = -x + 1$. (c) **Position de la courbe par rapport à l'asymptote** : Calculons $$f(x) - (-x + 1) = -\frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1} + x - 1 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1}.$$ Pour $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2+1} \sim -x$, donc $$f(x) - (-x + 1) \sim \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = 0.$$ Pour $x$ très grand négatif, la différence est proche de 0 et positive, donc la courbe est au-dessus de l'asymptote. (d) **Tracer la courbe (C) et les tangentes en $x=0$ et $x=1$** : Calculons $f(0)$ et $f'(0)$ : $$f(0) = 0 + 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},$$ $$f'(0) = \frac{1}{2} \left(\frac{0}{1} - 1\right) = -\frac{1}{2}.$$ Équation de la tangente en $x=0$ : $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} x.$$ Calculons $f(1)$ et $f'(1)$ : $$f(1) = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2},$$ $$f'(1) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1\right).$$ Équation de la tangente en $x=1$ : $$y = f(1) + f'(1)(x - 1).$$ 4. **Bijection et fonction réciproque** : $f$ est strictement décroissante et continue sur $\mathbb{R}$, donc bijection de $\mathbb{R}$ sur $J = ]\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)[$. Calculons ces limites : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty + 1 + \infty = +\infty,$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty + 1 + \infty = +\infty,$$ mais en fait, en analysant précisément, $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ (car $-\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{x^2+1} \sim 0$), et $f(x) \to +\infty$ quand $x \to -\infty$. Donc $J = ]0, +\infty[$. Le sens de variation de $f^{-1}$ est croissant car $f$ est décroissante. La fonction réciproque est donnée par $$f^{-1}(x) = \frac{1}{4}(x - 1) + 1 - x.$$