1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $$F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{t(t^2 + 1)} \, dt.$$ Il s'agit de prouver que $F$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. 2. **Définition et conditions d'intégrabilité :** Pour que $F(x)$ soit bien définie, l'intégrale doit converger absolument. 3. **Étude du comportement de l'intégrande :** - Pour $t \to 0$, on a $\arctan(xt) \sim xt$ car $\arctan(u) \sim u$ pour $u \to 0$. Donc l'intégrande vaut environ $$\frac{xt}{t(t^2+1)} = \frac{x}{t^2+1}$$ qui est borné près de 0. - Pour $t \to +\infty$, $\arctan(xt)$ est borné par $\frac{\pi}{2}$ en valeur absolue. L'intégrande est alors majoré par $$\frac{\pi/2}{t(t^2+1)} \sim \frac{C}{t^3}$$ qui est intégrable sur $[1,+\infty)$. 4. **Conclusion sur la définition :** L'intégrale converge absolument pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $F$ est bien définie. --- 5. **Prouver que $F$ est impaire et continue :** - Impairité : $$F(-x) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(-xt)}{t(t^2+1)} dt = \int_0^{+\infty} \frac{-\arctan(xt)}{t(t^2+1)} dt = -F(x).$$ - Continuité : La fonction $x \mapsto \arctan(xt)$ est continue et bornée pour chaque $t$, et l'intégrande est dominé par une fonction intégrable indépendante de $x$. Par le théorème de convergence dominée, $F$ est continue. --- 6. **Prouver que $F$ est de classe $C^1$ et calculer $F'(x)$ pour $x \neq 0$ :** On dérive sous le signe intégrale (justifié par la domination uniforme) : $$F'(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\arctan(xt)}{t(t^2+1)} \right) dt = \int_0^{+\infty} \frac{t}{t(t^2+1)} \cdot \frac{1}{1+(xt)^2} dt = \int_0^{+\infty} \frac{1}{(t^2+1)(1+x^2 t^2)} dt.$$ 7. **Calcul de $F'(x)$ :** On pose $$I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(t^2+1)(1+x^2 t^2)}.$$ Utilisons la décomposition en fractions partielles ou une substitution adaptée. 8. **Calcul explicite de $I(x)$ :** On écrit $$\frac{1}{(t^2+1)(1+x^2 t^2)} = \frac{A}{t^2+1} + \frac{B}{1+x^2 t^2}$$ mais ici, une méthode plus simple est d'utiliser la formule connue : $$\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(t^2+a^2)(t^2+b^2)} = \frac{\pi}{2 a b (a+b)}$$ pour $a,b>0$. Ici, $a=1$, $b=\frac{1}{|x|}$, donc $$I(x) = \frac{\pi}{2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{|x|} (1 + \frac{1}{|x|})} = \frac{\pi}{2 \frac{1}{|x|} (1 + \frac{1}{|x|})} = \frac{\pi}{2 \frac{1}{|x|} \frac{|x|+1}{|x|}} = \frac{\pi}{2 \frac{|x|+1}{|x|^2}} = \frac{\pi |x|^2}{2(|x|+1)}.$$ Simplifions : $$I(x) = \frac{\pi |x|^2}{2(|x|+1)} = \frac{\pi |x|}{2} \cdot \frac{|x|}{|x|+1}.$$ 9. **Expression finale de $F'(x)$ :** Pour $x \neq 0$, $$F'(x) = I(x) = \frac{\pi |x|^2}{2(|x|+1)}.$$ --- 10. **Calcul de $F(0)$ :** $$F(0) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(0)}{t(t^2+1)} dt = 0.$$ 11. **Expression explicite de $F$ :** Puisque $F$ est impaire et $F(0)=0$, on intègre $F'(x)$ : Pour $x>0$, $$F(x) = \int_0^x F'(t) dt = \int_0^x \frac{\pi t^2}{2(t+1)} dt.$$ On peut écrire $$\frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$$ car $$t - 1 + \frac{1}{t+1} = \frac{(t+1)(t-1) + 1}{t+1} = \frac{t^2 -1 +1}{t+1} = \frac{t^2}{t+1}.$$ Donc $$F(x) = \frac{\pi}{2} \int_0^x \left(t - 1 + \frac{1}{t+1}\right) dt = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{t^2}{2} - t + \ln(t+1) \right]_0^x = \frac{\pi}{2} \left( \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1) \right).$$ Pour $x<0$, $F(x) = -F(-x)$ par impaireté. --- **Résumé final :** $$\boxed{F(x) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{x^2}{2} - |x| + \ln(|x|+1) \right), \quad F'(x) = \frac{\pi x^2}{2(x+1)} \text{ pour } x \neq 0, \quad F(0)=0.}$$