1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $$f(x) = x + 4 - \sqrt{x^2 + 7}$$. 2. **Déterminer le domaine de définition $D_f$ :** La fonction contient une racine carrée $$\sqrt{x^2 + 7}$$. Puisque $$x^2 + 7 \geq 7 > 0$$ pour tout $$x \in \mathbb{R}$$, la racine est définie partout. Donc, $$D_f = \mathbb{R}$$. 3. **Calculer $$\lim_{x \to +\infty} f(x)$$ et interpréter géométriquement :** On étudie $$ \lim_{x \to +\infty} \left(x + 4 - \sqrt{x^2 + 7}\right). $$ Pour simplifier, on met sous forme factorisée : $$ \sqrt{x^2 + 7} = |x| \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} = x \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} \quad \text{car } x \to +\infty. $$ Donc $$ f(x) = x + 4 - x \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} = x \left(1 - \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}}\right) + 4. $$ Utilisons l'approximation pour $$x \to +\infty$$ : $$ \sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} \quad \text{avec } u = \frac{7}{x^2}. $$ Donc $$ 1 - \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} \approx 1 - \left(1 + \frac{7}{2x^2}\right) = - \frac{7}{2x^2}. $$ Ainsi $$ f(x) \approx x \left(- \frac{7}{2x^2}\right) + 4 = - \frac{7}{2x} + 4. $$ Quand $$x \to +\infty$$, $$- \frac{7}{2x} \to 0$$ donc $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 4. $$ **Interprétation géométrique :** La courbe tend vers la droite horizontale $$y = 4$$ à l'infini positif. 4. **Montrer que la droite $$\Delta : y = 2x + 4$$ est une asymptote oblique en $$-\infty$$ :** Calculons $$ \lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - (2x + 4)\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(x + 4 - \sqrt{x^2 + 7} - 2x - 4\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(-x - \sqrt{x^2 + 7}\right). $$ Pour $$x \to -\infty$$, $$|x| = -x$$, donc $$ \sqrt{x^2 + 7} = |x| \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} = -x \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}}. $$ Donc $$ -x - \sqrt{x^2 + 7} = -x + x \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} = x \left(-1 + \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}}\right). $$ Avec l'approximation $$ \sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} \quad \Rightarrow \quad -1 + \sqrt{1 + u} \approx \frac{u}{2}. $$ Ici $$u = \frac{7}{x^2}$$, donc $$ -1 + \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} \approx \frac{7}{2x^2}. $$ Ainsi $$ \lim_{x \to -\infty} x \cdot \frac{7}{2x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{7}{2x} = 0. $$ Donc $$ \lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - (2x + 4)\right) = 0, $$ ce qui montre que $$y = 2x + 4$$ est une asymptote oblique en $$-\infty$$. 5. **Calculer $$f'(x)$$ pour tout $$x \in \mathbb{R}$$ :** $$ f(x) = x + 4 - \sqrt{x^2 + 7}. $$ Dérivons : $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + 7}} \cdot 2x = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}}. $$ 6. **Résumé :** - Domaine : $$\mathbb{R}$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$$ (asymptote horizontale) - $$y = 2x + 4$$ est asymptote oblique en $$-\infty$$ - $$f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}}$$ La résolution complète des autres questions dépasse la limite de cette réponse.