1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$g(x) = \ln(x + 1) - x$$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier la monotonie d'une fonction, on calcule sa dérivée $g'(x)$. Si $g'(x) < 0$ pour tout $x$ dans l'intervalle, alors $g$ est strictement décroissante. 3. **Calcul de la dérivée :** $$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x + 1) - x \right) = \frac{1}{x + 1} - 1$$ 4. **Étude du signe de $g'(x)$ :** Pour $x \geq 0$, on a $x + 1 > 0$, donc $$g'(x) = \frac{1}{x + 1} - 1 = \frac{1 - (x + 1)}{x + 1} = \frac{-x}{x + 1}$$ Le numérateur $-x \leq 0$ et le dénominateur $x + 1 > 0$, donc $$g'(x) \leq 0$$ avec égalité seulement en $x=0$. 5. **Conclusion sur la décroissance :** Ainsi, $g'(x) < 0$ pour tout $x > 0$, donc $g$ est strictement décroissante sur $[0; +\infty[$. 6. **En déduire l'inégalité :** Puisque $g$ est décroissante et que $g(0) = \ln(1) - 0 = 0$, on a pour tout $x \geq 0$ : $$g(x) = \ln(x + 1) - x \leq g(0) = 0$$ ce qui donne $$\ln(x + 1) \leq x$$ **Réponse finale :** La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0; +\infty[$ et pour tout $x \geq 0$, on a $$\ln(x + 1) \leq x$$.