1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(x) = \ln(x+1) - x$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier la monotonie d'une fonction, on calcule sa dérivée $g'(x)$ et on analyse son signe. 3. **Calcul de la dérivée :** $$g'(x) = \frac{d}{dx}[\ln(x+1)] - \frac{d}{dx}[x] = \frac{1}{x+1} - 1$$ 4. **Étude du signe de $g'(x)$ sur $[0; +\infty[$ :** Pour $x \geq 0$, $x+1 \geq 1$, donc $\frac{1}{x+1} \leq 1$. Ainsi, $$g'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 \leq 0$$ 5. **Conclusion sur la décroissance :** Comme $g'(x) \leq 0$ pour tout $x \in [0; +\infty[$, la fonction $g$ est décroissante sur cet intervalle. 6. **Démonstration de l'inégalité :** Puisque $g$ est décroissante et $g(0) = \ln(1) - 0 = 0$, alors pour tout $x \geq 0$, $$g(x) \leq g(0) = 0$$ ce qui donne $$\ln(x+1) - x \leq 0 \implies \ln(x+1) \leq x$$