1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$g(x) = x^2 + x - 2 + 2 \ln x$$ 2. **Vérification de $g(1) = 0$ :** Calculons $g(1)$ : $$g(1) = 1^2 + 1 - 2 + 2 \ln 1 = 1 + 1 - 2 + 0 = 0$$ Donc, $g(1) = 0$ est vérifié. 3. **Étude des variations de $g$ :** D'après le tableau de variations donné : - $g'(x)$ est positif sur $]0; +\infty[$. - $g(x)$ est strictement croissante de $-\infty$ vers $+\infty$. 4. **Montrer que $g(x) \leq 0$ pour $x \in ]0;1]$ et $g(x) \geq 0$ pour $x \in [1; +\infty[$ :** Puisque $g$ est strictement croissante et $g(1) = 0$ : - Pour $x \leq 1$, $g(x) \leq g(1) = 0$. - Pour $x \geq 1$, $g(x) \geq g(1) = 0$. Ceci conclut la première partie. --- 5. **Deuxième partie : fonction $f$ définie par** $$f(x) = x + \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x$$ 6. **Calcul de $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ :** Analysons chaque terme : - $x \to 0^+$, donc $x \to 0$. - $\ln x \to -\infty$. - $1 - \frac{2}{x} \to -\infty$ car $\frac{2}{x} \to +\infty$. Le produit $\left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x$ est de la forme $(-\infty) \times (-\infty) = +\infty$. Plus précisément, posons $x \to 0^+$ : $$f(x) \approx x + \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x = x + \ln x - \frac{2}{x} \ln x$$ Le terme dominant est $-\frac{2}{x} \ln x$. En posant $x = t$ avec $t \to 0^+$, on a $\frac{\ln t}{t} \to -\infty$ donc $-\frac{2}{x} \ln x \to +\infty$. Donc, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$ **Interprétation graphique :** La courbe $\mathcal{C}_f$ monte indéfiniment vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$ par la droite. 7. **a) Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ :** Pour $x \to +\infty$ : - $x \to +\infty$. - $\ln x \to +\infty$. - $1 - \frac{2}{x} \to 1$. Donc, $$f(x) \sim x + 1 \times \ln x = x + \ln x$$ Comme $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. 7. **b) Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique de direction $y = x$ au voisinage de $+\infty$ :** Considérons $$f(x) - x = \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x$$ Pour $x \to +\infty$, $1 - \frac{2}{x} \to 1$, donc $$f(x) - x \sim \ln x$$ La fonction $\ln x$ croît lentement mais tend vers $+\infty$, donc la courbe s'écarte de la droite $y = x$ de façon logarithmique, ce qui correspond à une branche parabolique de direction $y = x$. 8. **a) Montrer que $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ :** Calculons $f'(x)$ : $$f(x) = x + \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x = x + \ln x - \frac{2}{x} \ln x$$ Dérivons terme à terme : - $\frac{d}{dx} x = 1$ - $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$ - $\frac{d}{dx} \left(-\frac{2}{x} \ln x\right) = -2 \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{x}\right)$ Calculons $\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{x}\right)$ : $$\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ Donc, $$\frac{d}{dx} \left(-\frac{2}{x} \ln x\right) = -2 \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} = -\frac{2}{x^2} + \frac{2 \ln x}{x^2}$$ Ainsi, $$f'(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{2 \ln x}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2} + \frac{2 \ln x}{x^2} = \frac{x^2 + x - 2 + 2 \ln x}{x^2} = \frac{g(x)}{x^2}$$ 9. **b) Étudier le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ :** - Comme $x^2 > 0$ pour $x > 0$, le signe de $f'(x)$ dépend de $g(x)$. - D'après la première partie, $g(x) \leq 0$ pour $x \in ]0;1]$ et $g(x) \geq 0$ pour $x \in [1; +\infty[$. Donc : - $f'(x) \leq 0$ sur $]0;1]$ donc $f$ est décroissante sur $]0;1]$. - $f'(x) \geq 0$ sur $[1; +\infty[$ donc $f$ est croissante sur $[1; +\infty[$. 10. **c) Tableau de variations de $f$ sur $]0; +\infty[$ :** | $x$ | $0^+$ | 1 | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $f'(x)$ | - | 0 | + | | $f(x)$ | $+\infty$ | minimum en $x=1$ | $+\infty$ | **Valeur de $f(1)$ :** $$f(1) = 1 + (1 - 2) \ln 1 = 1 + 0 = 1$$ Donc $f$ décroît de $+\infty$ à 1 sur $]0;1]$ puis croît de 1 à $+\infty$ sur $[1; +\infty[$. --- **Résumé :** - $g(1) = 0$. - $g$ croissante, négative sur $]0;1]$, positive sur $[1; +\infty[$. - $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$. - $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$. - $f$ décroissante sur $]0;1]$, croissante sur $[1; +\infty[$. - $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$.