1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = x + \frac{4}{x}$, montrer que $f$ est impaire, vérifier une relation entre $f(a)$ et $f(b)$, étudier les variations sur certains intervalles, et dresser le tableau de variations. 2. **Ensemble de définition $D_f$ :** La fonction $f(x) = x + \frac{4}{x}$ est définie pour tous les réels $x$ sauf ceux qui annulent le dénominateur. Donc, $x \neq 0$. Ainsi, $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty).$$ 3. **Montrer que $f$ est impaire :** Une fonction $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ dans $D_f$. Calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = -x + \frac{4}{-x} = -x - \frac{4}{x} = -(x + \frac{4}{x}) = -f(x).$$ Donc, $f$ est impaire. 4. **Montrer la relation donnée :** Pour $a,b \neq 0$ et $a \neq b$, calculons : $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\left(b + \frac{4}{b}\right) - \left(a + \frac{4}{a}\right)}{b - a} = \frac{b - a + \frac{4}{b} - \frac{4}{a}}{b - a}.$$ Mettons sous un dénominateur commun dans le numérateur : $$\frac{4}{b} - \frac{4}{a} = \frac{4a - 4b}{ab} = \frac{4(a - b)}{ab}.$$ Donc, $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{b - a + \frac{4(a - b)}{ab}}{b - a} = \frac{b - a - \frac{4(b - a)}{ab}}{b - a}.$$ Factorisons $b - a$ : $$= \frac{(b - a)\left(1 - \frac{4}{ab}\right)}{b - a} = 1 - \frac{4}{ab} = \frac{ab - 4}{ab}.$$ On a bien : $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{ab - 4}{ab}.$$ 5. **Étude des variations sur $[2, +\infty[$ et $]0, 2]$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$$ Sur $]0, +\infty[$, $x^2 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ dépend de $x^2 - 4$. - Pour $x > 2$, $x^2 - 4 > 0$ donc $f'(x) > 0$ : $f$ est croissante sur $[2, +\infty[$. - Pour $0 < x < 2$, $x^2 - 4 < 0$ donc $f'(x) < 0$ : $f$ est décroissante sur $]0, 2]$. 6. **Variations sur $]-\infty, -2]$ et $[-2, 0[$ :** Sur $]-\infty, 0[$, $x^2 > 0$ aussi. - Pour $x < -2$, $x^2 - 4 > 0$ donc $f'(x) > 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty, -2]$. - Pour $-2 < x < 0$, $x^2 - 4 < 0$ donc $f'(x) < 0$ : $f$ est décroissante sur $[-2, 0[$. 7. **Tableau de variations :** - $f$ est croissante sur $(-\infty, -2]$, - décroissante sur $[-2, 0[$, - décroissante sur $]0, 2]$, - croissante sur $[2, +\infty)$. Les points critiques sont $x = -2$ et $x = 2$. Calculons $f(-2)$ et $f(2)$ : $$f(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4,$$ $$f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4.$$