1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $$f : x \mapsto \int_x^{x^2} \frac{1}{\ln t} \, dt$$ définie sur les intervalles $$I = ]0,1[ $$ et $$J = ]1,+\infty[.$$ 2. **(a) Montrer que $$f$$ est bien définie sur $$I$$ et $$J$$ :** - Pour que $$f(x)$$ soit bien définie, l'intégrale doit être définie, donc la fonction intégrée $$\frac{1}{\ln t}$$ doit être définie et intégrable sur l'intervalle d'intégration $$[x, x^2]$$. - Sur $$I = ]0,1[,$$ on a $$0 < x < 1$$ donc $$x^2 < x < 1$$ ou $$x < x^2$$ ? - En fait, pour $$x \in ]0,1[,$$ on a $$x^2 < x$$ car $$x^2 < x$$ pour $$x < 1$$. - Donc l'intervalle d'intégration est $$[x^2, x]$$ (car borne inférieure doit être plus petite), on peut écrire $$f(x) = \int_{x^2}^x \frac{1}{\ln t} dt$$. - Sur $$J = ]1,+\infty[,$$ on a $$x > 1$$ donc $$x^2 > x,$$ donc l'intervalle est $$[x, x^2]$$. - La fonction $$\frac{1}{\ln t}$$ est définie pour $$t > 0$$ sauf en $$t=1$$ où $$\ln 1 = 0$$, ce qui pose une singularité. - Sur $$I = ]0,1[,$$ l'intervalle $$[x^2, x] \subset ]0,1[,$$ donc $$t \in ]0,1[,$$ et $$\ln t < 0$$ mais $$t \neq 1,$$ donc $$\frac{1}{\ln t}$$ est bien définie et continue sur $$[x^2, x]$$. - Sur $$J = ]1,+\infty[,$$ l'intervalle $$[x, x^2] \subset ]1,+\infty[,$$ donc $$t > 1,$$ $$\ln t > 0,$$ et $$\frac{1}{\ln t}$$ est bien définie et continue sur $$[x, x^2]$$. - Conclusion : $$f$$ est bien définie sur $$I$$ et $$J$$ car l'intégrale est sur un intervalle où la fonction intégrée est continue. 3. **(b) Montrer que $$f$$ est à valeurs positives sur $$I$$ et $$J$$ :** - Sur $$I,$$ on a $$f(x) = \int_{x^2}^x \frac{1}{\ln t} dt$$ avec $$0 < x^2 < x < 1$$. - Sur $$]0,1[,$$ $$\ln t < 0,$$ donc $$\frac{1}{\ln t} < 0$$. - L'intégrale est donc d'une fonction négative sur un intervalle de longueur $$x - x^2 > 0$$. - Donc $$f(x) = \int_{x^2}^x \frac{1}{\ln t} dt < 0$$. - Mais dans l'énoncé, on demande de montrer que $$f$$ est à valeurs positives, donc on doit vérifier l'orientation de l'intégrale. - En fait, la définition initiale est $$f(x) = \int_x^{x^2} \frac{1}{\ln t} dt$$. - Sur $$I,$$ $$x^2 < x,$$ donc l'intégrale est de $$x$$ à $$x^2$$, borne supérieure plus petite que la borne inférieure. - On peut inverser les bornes : $$f(x) = - \int_{x^2}^x \frac{1}{\ln t} dt$$. - Comme $$\frac{1}{\ln t} < 0$$ sur $$]0,1[,$$ alors $$\int_{x^2}^x \frac{1}{\ln t} dt < 0$$. - Donc $$f(x) = - (\text{négatif}) = \text{positif}$$. - Sur $$J,$$ $$x^2 > x > 1,$$ $$\ln t > 0,$$ donc $$\frac{1}{\ln t} > 0$$. - L'intégrale $$\int_x^{x^2} \frac{1}{\ln t} dt > 0$$ car intégrale d'une fonction positive sur un intervalle positif. - Conclusion : $$f(x) > 0$$ sur $$I$$ et $$J$$. 4. **(c) Montrer que $$f$$ est dérivable sur $$I$$ et $$J$$, calculer $$f'$$ et étudier son sens de variation :** - On note $$F$$ une primitive de $$t \mapsto \frac{1}{\ln t}$$. - Par le théorème fondamental du calcul intégral avec bornes variables : $$f(x) = \int_x^{x^2} \frac{1}{\ln t} dt = F(x^2) - F(x).$$ - Donc $$f$$ est dérivable sur $$I$$ et $$J$$ car $$F$$ est dérivable (primitive). - Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{d}{dx} F(x^2) - \frac{d}{dx} F(x) = F'(x^2) \cdot 2x - F'(x) = \frac{2x}{\ln(x^2)} - \frac{1}{\ln x}.$$ - Or $$\ln(x^2) = 2 \ln x,$$ donc $$f'(x) = \frac{2x}{2 \ln x} - \frac{1}{\ln x} = \frac{x}{\ln x} - \frac{1}{\ln x} = \frac{x - 1}{\ln x}.$$ - Étude du signe de $$f'(x)$$ : - Sur $$I = ]0,1[,$$ $$x - 1 < 0$$ et $$\ln x < 0,$$ donc $$f'(x) = \frac{\text{négatif}}{\text{négatif}} > 0$$. - Sur $$J = ]1,+\infty[,$$ $$x - 1 > 0$$ et $$\ln x > 0,$$ donc $$f'(x) = \frac{\text{positif}}{\text{positif}} > 0$$. - Conclusion : $$f' > 0$$ sur $$I$$ et $$J,$$ donc $$f$$ est strictement croissante sur ces deux intervalles. **Résumé final :** - $$f$$ est bien définie sur $$I$$ et $$J$$. - $$f(x) > 0$$ sur $$I$$ et $$J$$. - $$f$$ est dérivable sur $$I$$ et $$J$$ avec $$f'(x) = \frac{x-1}{\ln x} > 0,$$ donc $$f$$ est strictement croissante sur $$I$$ et $$J$$.