1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction auxiliaire $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x) = -1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}}.$$ Calculer ses limites aux bornes de son ensemble de définition et interpréter graphiquement. 2. **Limites de $g$ :** - Lorsque $x \to +\infty$, on a $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1 + \frac{8}{x^2}}} = \frac{x}{x\sqrt{1 + 0}} = 1.$$ Donc $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -1 + 1 = 0.$$ - Lorsque $x \to -\infty$, on a $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1 + \frac{8}{x^2}}} = \frac{x}{-x\sqrt{1 + 0}} = -1.$$ Donc $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = -1 + (-1) = -2.$$ 3. **Interprétation graphique :** - La fonction $g$ tend vers $0$ quand $x$ devient très grand positif. - La fonction $g$ tend vers $-2$ quand $x$ devient très grand négatif. 4. **Étude des variations de $g$ :** - Calcul de la dérivée : $$g'(x) = \frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}}\right).$$ - Posons $$h(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}} = x (x^2 + 8)^{-1/2}.$$ - En utilisant la règle du produit et la dérivée d'une puissance : $$h'(x) = (x^2 + 8)^{-1/2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x^2 + 8)^{-3/2} \cdot 2x = (x^2 + 8)^{-1/2} - x^2 (x^2 + 8)^{-3/2}.$$ - Mettons au même dénominateur : $$h'(x) = \frac{x^2 + 8}{(x^2 + 8)^{3/2}} - \frac{x^2}{(x^2 + 8)^{3/2}} = \frac{x^2 + 8 - x^2}{(x^2 + 8)^{3/2}} = \frac{8}{(x^2 + 8)^{3/2}} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$ - Donc $$g'(x) = h'(x) > 0$$ pour tout $x$, ce qui signifie que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 5. **Tableau de variations de $g$ :** - $g$ est strictement croissante de $-2$ (limite en $-\infty$) à $0$ (limite en $+\infty$). 6. **Signe de $g(x)$ :** - Puisque $g$ est strictement croissante et que $g(-\infty) = -2 < 0$ et $g(+\infty) = 0$, on cherche la valeur de $x$ telle que $g(x) = 0$ : $$-1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}} = 1.$$ - Cette équation est vraie seulement si $x > 0$ et $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 8}} = 1 \implies x = \sqrt{x^2 + 8} \implies x^2 = x^2 + 8,$$ ce qui est impossible. Donc $g(x) < 0$ pour tout $x$. **Conclusion :** - $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - $g(x)$ est toujours négative. - $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -2$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$.