1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f(x) = 2x - \ln(x)$ définie pour $x>0$. 2. **Calcul du tableau de valeurs** : Calculons $f(x)$ pour les valeurs données. Pour chaque $x$, on calcule $f(x) = 2x - \ln(x)$. - $f(0.1) = 2 \times 0.1 - \ln(0.1) = 0.2 - (-2.302585) = 2.502585$ - $f(0.2) = 0.4 - (-1.609438) = 2.009438$ - $f(0.3) = 0.6 - (-1.203973) = 1.803973$ - $f(0.4) = 0.8 - (-0.916291) = 1.716291$ - $f(0.5) = 1.0 - (-0.693147) = 1.693147$ - $f(0.6) = 1.2 - (-0.510826) = 1.710826$ - $f(0.7) = 1.4 - (-0.356675) = 1.756675$ - $f(0.8) = 1.6 - (-0.223144) = 1.823144$ - $f(0.9) = 1.8 - (-0.105361) = 1.905361$ - $f(1) = 2 - 0 = 2$ - $f(1.5) = 3 - 0.405465 = 2.594535$ 3. **Tableau de variations** : Étudions la dérivée $f'(x)$ pour déterminer les variations. La dérivée est $f'(x) = 2 - \frac{1}{x}$. - $f'(x) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2} = 0.5$ - Pour $x < 0.5$, $f'(x) = 2 - \frac{1}{x} < 0$ car $\frac{1}{x} > 2$, donc $f$ décroît. - Pour $x > 0.5$, $f'(x) = 2 - \frac{1}{x} > 0$, donc $f$ croît. Donc $f$ a un minimum en $x=0.5$. Calculons $f(0.5)$ : $f(0.5) = 1.693147$ (déjà calculé). 4. **Résolution graphique de $f(x) = 1.7$** : On cherche $x$ tel que $f(x) = 1.7$. D'après le tableau de valeurs et la variation : - $f(0.4) = 1.716291 > 1.7$ - $f(0.5) = 1.693147 < 1.7$ Donc la solution est entre $0.4$ et $0.5$. Par interpolation linéaire approximative : $$x \approx 0.4 + \frac{1.7 - 1.716291}{1.693147 - 1.716291} \times (0.5 - 0.4) = 0.4 + \frac{-0.016291}{-0.023144} \times 0.1 \approx 0.4 + 0.0704 = 0.4704$$ **Réponse finale** : La solution graphique de $f(x) = 1.7$ est environ $x \approx 0.47$.