1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = x(\ln x)^2 + x \quad \text{pour } x > 0, \quad f(0) = 0.$$ 2. **Déterminer le domaine de définition $D_f$ :** La fonction $f$ est définie pour $x > 0$ car $\ln x$ est défini uniquement pour $x > 0$. Par définition, $f(0) = 0$ est donné. Donc, $$D_f = [0, +\infty[.$$ 3. **Montrer que $\lim_{x \to 0^+} x(\ln x)^2 = 0$ :** - Posons $t = \ln x$, donc quand $x \to 0^+$, $t \to -\infty$. - On a $x = e^t$, donc $$x(\ln x)^2 = e^t t^2.$$ - Comme $t \to -\infty$, $e^t \to 0$ plus vite que $t^2 \to +\infty$. - Donc, $$\lim_{t \to -\infty} e^t t^2 = 0,$$ ce qui implique $$\lim_{x \to 0^+} x(\ln x)^2 = 0.$$ 4. **Continuité de $f$ à droite en $x_0=0$ :** - On a $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \big(x(\ln x)^2 + x\big) = 0 + 0 = 0 = f(0).$$ - Donc $f$ est continue à droite en $0$. 5. **Dérivabilité de $f$ en $0$ à droite et interprétation géométrique :** - Pour $x > 0$, dérivons $f$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \big(x(\ln x)^2 + x\big) = (\ln x)^2 + 2\ln x + 1.$$ - Calculons la dérivée à droite en $0$ : $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x(\ln x)^2 + x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (\ln x)^2 + 1 = +\infty.$$ - La dérivée à droite en $0$ n'existe pas finie, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ à droite. - Géométriquement, la tangente verticale en $0$ signifie que la courbe est très raide près de $0$. 6. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et étude de la branche infinie :** - Quand $x \to +\infty$, $\ln x \to +\infty$, donc $$f(x) = x(\ln x)^2 + x = x\big((\ln x)^2 + 1\big) \to +\infty.$$ - La fonction diverge vers $+\infty$ plus vite que toute puissance de $x$. 7. **Calcul de $f'(x)$ pour $x > 0$ et étude des variations :** - On a $$f'(x) = (\ln x)^2 + 2\ln x + 1 = (\ln x + 1)^2 \geq 0.$$ - $f'(x) = 0$ si et seulement si $\ln x = -1$, soit $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$. - $f'(x) > 0$ pour $x \neq \frac{1}{e}$. - Donc $f$ est croissante sur $]0, +\infty[$ avec un minimum local en $x = \frac{1}{e}$. 8. **Calcul de $f''(x)$ et étude de la concavité :** - Dérivons $f'(x)$ : $$f''(x) = \frac{d}{dx} (\ln x + 1)^2 = 2(\ln x + 1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2(\ln x + 1)}{x}.$$ - $f''(x) = 0$ pour $\ln x = -1$, soit $x = \frac{1}{e}$. - Pour $x < \frac{1}{e}$, $\ln x + 1 < 0$ donc $f''(x) < 0$ concave vers le bas. - Pour $x > \frac{1}{e}$, $f''(x) > 0$ concave vers le haut. 9. **Équation de la tangente $(\Delta)$ en $x_0 = 1$ :** - Calculons $f(1)$ : $$f(1) = 1 \cdot (\ln 1)^2 + 1 = 0 + 1 = 1.$$ - Calculons $f'(1)$ : $$f'(1) = (\ln 1)^2 + 2 \ln 1 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1.$$ - Équation de la tangente : $$y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + 1(x - 1) = x.$$ 10. **Positions relatives de $(C_f)$ et $(\Delta)$ :** - Étudions $f(x) - x = x(\ln x)^2 + x - x = x(\ln x)^2 \geq 0$ pour $x > 0$. - Donc la courbe $(C_f)$ est au-dessus de la tangente $(\Delta)$ sauf en $x=1$ où elles se touchent. 11. **Fonction réciproque $f^{-1}$ :** - $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$, donc bijective sur son image $J = [0, +\infty[$. - $f^{-1}$ est donc définie sur $J$. 12. **Dérivabilité de $f^{-1}$ sur $J$ :** - Comme $f$ est dérivable et $f'(x) > 0$ pour $x > 0$, $f^{-1}$ est dérivable sur $J$. 13. **Calcul de $(f^{-1})'(1)$ :** - Par la formule, $$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$$ - Comme $f(1) = 1$, $f^{-1}(1) = 1$. - Donc, $$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{1} = 1.$$ 14. **Suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, $u_1=e$, $u_{n+1} = f(u_n)$ :** - Montrons par récurrence que $\frac{1}{2} \leq u_n \leq 1$ pour tout $n$. - Initialisation : $$u_0 = 1 \in [\frac{1}{2}, 1], \quad u_1 = e > 1,$$ ce qui contredit la borne supérieure, donc il faut vérifier l'énoncé ou la borne. - Si l'énoncé est exact, il faudrait vérifier la définition ou la borne. **Résumé :** - $D_f = [0, +\infty[$. - $\lim_{x \to 0^+} x(\ln x)^2 = 0$. - $f$ est continue à droite en $0$ mais non dérivable en $0$. - $f$ croissante avec minimum local en $x=\frac{1}{e}$. - Concavité change en $x=\frac{1}{e}$. - Tangente en $x=1$ est $y=x$. - $f^{-1}$ existe, est dérivable, et $(f^{-1})'(1) = 1$.