1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \text{ pour } x > 0, \quad f(0) = 0,$$ avec le domaine $D_f = [0,1[ \cup ]1,+\infty[$. 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction est définie pour $x>0$ sauf en $x=1$ car $\ln 1=0$ et le dénominateur s'annule. Donc $$D_f = [0,1[ \cup ]1,+\infty[.$$ 3. **Limites aux bornes de $D_f$ :** - Quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$ donc $$f(x) \approx \frac{-\infty -1}{(+\infty)} \to 0.$$ - Quand $x \to 1^-$, $\ln x \to 0^-$, on étudie $$f(x) = \frac{\ln x -1}{(\ln x)^2} = \frac{u -1}{u^2} \text{ avec } u=\ln x \to 0^-.$$ La limite est $$\lim_{u \to 0^-} \frac{u-1}{u^2} = -\infty.$$ - Quand $x \to 1^+$, $\ln x \to 0^+$, $$\lim_{u \to 0^+} \frac{u-1}{u^2} = -\infty.$$ - Quand $x \to +\infty$, $\ln x \to +\infty$, $$f(x) \approx \frac{+\infty -1}{(+\infty)^2} \to 0.$$ 4. **Branches infinies :** Aux voisinages de $x=1$, $f(x) \to -\infty$ donc la courbe a une branche infinie verticale en $x=1$. Aux infinis, $f(x) \to 0$, donc la droite $y=0$ est une asymptote horizontale. 5. **Continuité à droite en 0 :** On a $f(0)=0$ et $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0,$$ donc $f$ est continue à droite en 0. 6. **Dérivabilité à droite en 0 :** Calculons $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h}.$$ Comme $f(h) \sim 0$ plus vite que $h$, on trouve $$f'(0^+) = 0.$$ Géométriquement, la tangente en 0 est horizontale. 7. **Dérivée $f'(x)$ pour $x \in D_f \setminus \{0\}$ :** Posons $u=\ln x$, alors $$f(x) = \frac{u-1}{u^2}.$$ Calculons $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{u-1}{u^2} \right) = \frac{u^2 \cdot \frac{1}{x} - (u-1) \cdot 2u \cdot \frac{1}{x}}{u^4} = \frac{u^2 - 2u(u-1)}{x u^4} = \frac{u^2 - 2u^2 + 2u}{x u^4} = \frac{-u^2 + 2u}{x u^4} = \frac{u(-u + 2)}{x u^4} = \frac{-u + 2}{x u^3}.$$ Donc $$f'(x) = \frac{2 - \ln x}{x (\ln x)^3}.$$ 8. **Tableau de variations :** - Étudions le signe de $f'(x)$ : $$f'(x) > 0 \iff 2 - \ln x > 0 \iff \ln x < 2 \iff x < e^2.$$ - Sur $]0,1[$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croissante. - Sur $]1,e^2[$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croissante. - Sur $]e^2,+\infty[$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroissante. 9. **Tangente en $A(e;0)$ :** Calculons $f'(e)$ : $$f'(e) = \frac{2 - \ln e}{e (\ln e)^3} = \frac{2 - 1}{e \cdot 1^3} = \frac{1}{e}.$$ L'équation de la tangente $(T)$ en $A$ est $$y = f'(e)(x - e) + f(e) = \frac{1}{e}(x - e) + 0 = \frac{x}{e} - 1.$$ 10. **Conclusion :** La courbe $\mathcal{C}_f$ est définie sur $D_f$, continue à droite en 0, possède une branche infinie verticale en $x=1$, une asymptote horizontale $y=0$ aux infinis, et la tangente en $A(e;0)$ est $y = \frac{x}{e} - 1$.